Действия с матрицами. свойства

Сложение и вычитание.

Операция сложения и вычитания матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пример 2: В 2007 году фирма «Дефис» реализует четыре группы канцелярских товаров предприятиям в три района г. Тюмени.

Ежегодные продажи (в единицах). Таблица 2.

Вид продукции Районы продажи
Центральный Тюменский Ленинский

Содержание таблицы запишем в форме матрицы

действия с матрицами. свойства - student2.ru

Аналогичные заявки на канцелярские товары в следующем году

действия с матрицами. свойства - student2.ru

действия с матрицами. свойства - student2.ru

Элементы этой матрицы характеризуют объём продаж различных видов продукции предприятиям каждого района на протяжении двух лет.

Суммой двух матриц А=(аij) и B=(bij) называется матрица C=(cij) такая, что сij=aij+bij (i= действия с матрицами. свойства - student2.ru , j= действия с матрицами. свойства - student2.ru ).

Пример 3:

действия с матрицами. свойства - student2.ru .

действия с матрицами. свойства - student2.ru и действия с матрицами. свойства - student2.ru нельзя складывать!!!

Свойства сложения матриц:

1. А+В=В+А;

2. (А+В)+С=А+(В+С);

3. А+0=А;

4. А-А=0,

где А, В, С- матрицы.

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число.

Произведением матрицы А=(аij) на число k называется матрица В=(bij) такая, что bij=k..aij (i= действия с матрицами. свойства - student2.ru , j= действия с матрицами. свойства - student2.ru ).

Пример 4:

А= действия с матрицами. свойства - student2.ru , k=4, А.k= действия с матрицами. свойства - student2.ru .

Матрица –А=(-1).А называется противоположной матрице А.

Свойства умножения матриц на число:

1. действия с матрицами. свойства - student2.ru .А= действия с матрицами. свойства - student2.ru

2. действия с матрицами. свойства - student2.ru .(А+В)= действия с матрицами. свойства - student2.ru ;

3. действия с матрицами. свойства - student2.ru .А= действия с матрицами. свойства - student2.ru ;

4. действия с матрицами. свойства - student2.ru .( действия с матрицами. свойства - student2.ru )=( действия с матрицами. свойства - student2.ru ).А,

где А, В- матрицы, действия с матрицами. свойства - student2.ru -числа.

Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Аm действия с матрицами. свойства - student2.ru n=(aij) на матрицу Bn действия с матрицами. свойства - student2.ru p=(bjk) называется матрица Сm действия с матрицами. свойства - student2.ru p=(cik) такая, что

cik=ai1 .b1k+ai2 .b2k+…+ain .bnk

Пример 5:Группировка продаж по различным филиалам фирмы «Башмачок» представлена таблицей:

Таблица 3.

  Филиалы   Вид продукции и его цена (руб.)
I (2 тыс.) II (3 тыс.) III (5 тыс.)
Продано единиц
Продажа за рубежом.   Розничная продажа   Продажа другим фирмам                        

Выручка от продаж фирмы запишется:

действия с матрицами. свойства - student2.ru

Из данного примера видно, что при умножении двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

В общем виде:

действия с матрицами. свойства - student2.ru ; действия с матрицами. свойства - student2.ru ; действия с матрицами. свойства - student2.ru

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА, в противном случае равенство не верно.

Свойства умножения матриц:

1. АВ действия с матрицами. свойства - student2.ru ВА

2. А..С)=(А.В).С;

3. А.(В+С)=АВ+АС;

4. (А+В).С=АС+ВС;

5. действия с матрицами. свойства - student2.ru (АВ)=( действия с матрицами. свойства - student2.ru А)В.

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

1. (АТ)Т=А;

2. (А+В)ТТТ;

3. (АВ)ТТ .АТ.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

Определители 2-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

А= действия с матрицами. свойства - student2.ru .

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное а11.а22 – а12.а21 и обозначается действия с матрицами. свойства - student2.ru или detА (детерминант А).

действия с матрицами. свойства - student2.ru .

Элементы матрицы А называются элементами определителя действия с матрицами. свойства - student2.ru . Элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а21а12 – второстепенную (правую).

Наши рекомендации