Определители 3-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка

Определители 3-го порядка - student2.ru .

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

Определители 3-го порядка - student2.ru .

Данное правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников или правилом Саррюса, которое символически можно записать так:

Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru .

Определители n-го порядка.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка

А= Определители 3-го порядка - student2.ru .

Определители n-го порядка, соответствующий матрице А обозначается

Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru .

Минором Мij элемента аij определителя Определители 3-го порядка - student2.ru называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из определителя Определители 3-го порядка - student2.ru путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением (адъюнктом) элемента аij определителя Определители 3-го порядка - student2.ru называется произведение минора Мij этого элемента на множитель (-1)i+j.

Определители n-го порядка (n Определители 3-го порядка - student2.ru ) называется число Определители 3-го порядка - student2.ru = Определители 3-го порядка - student2.ru , где аij-элемент i-ой строки, Аij- алгебраическое дополнение этого элемента (i= Определители 3-го порядка - student2.ru ).

Свойства определителей

1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот, т.е.:

Определители 3-го порядка - student2.ru

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Определители 3-го порядка - student2.ru

Определители 3-го порядка - student2.ru

6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже любое число.

Определители 3-го порядка - student2.ru

7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru

8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Определители 3-го порядка - student2.ru

НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка

А= Определители 3-го порядка - student2.ru .

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Определители 3-го порядка - student2.ru не равен нулю, в противном случае ( Определители 3-го порядка - student2.ru ) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

А Определители 3-го порядка - student2.ru = Определители 3-го порядка - student2.ru

где А Определители 3-го порядка - student2.ru - алгебраическое дополнение элемента Определители 3-го порядка - student2.ru данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.

Матрица Определители 3-го порядка - student2.ru называется обратной матрице А, если выполняется условие

Определители 3-го порядка - student2.ru ,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица Определители 3-го порядка - student2.ru имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема1: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Теорема2: Матрица Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru где А Определители 3-го порядка - student2.ru - алгебраическое дополнение элемента Определители 3-го порядка - student2.ru невырожденной матрицы А, является обратной для матрицы А.

Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения А Определители 3-го порядка - student2.ru всех элементов матрицы А и составить матрицу А Определители 3-го порядка - student2.ru , элементами которой являются алгебраические дополнения А Определители 3-го порядка - student2.ru .

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А Определители 3-го порядка - student2.ru , и умножить её на Определители 3-го порядка - student2.ru - это и будет Определители 3-го порядка - student2.ru = Определители 3-го порядка - student2.ru Определители 3-го порядка - student2.ru .

4. Сделать проверку: Определители 3-го порядка - student2.ru .

Наши рекомендации