Экспоненты представляются в виде

или

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее развитие к концу, т . е. тех рядов, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в виде

или ,

где С – основание натурального алгоритма.

Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = - ∞ стремиться к нулю, а при t = + ∞ стремиться к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается.

Тип процессов , характеризующихся наличием экстремальных значений , описывается кривой ГОМПЕРЦА

Модели сезонных колебаний

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_s).

Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являютсяпроцентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно используют данные за несколько лет (не мене трех), распределенные по месяцам.

Для выявления сезонных колебаний применяются различные методы (таблица 34)

Таблица 34 - Методы выявления сезонных колебаний

Методы измерения сезонных волн, основанные на применении	Наименование методов
1. Средней арифметической	1. Метод абсолютных разностей. 2. Метод отношений средних помесячных к средней за весь период. 3. Метод отношений помесячных уровней к средней данного года
2. Относительных величин	1. Метод относительных величин. 2. Метод относительных величин на основе медианы. 3. Метод У. ПЕРСОНА ( цепной метод).
3. Механического выравнивания	1. Метод скользящих средних. 2. Метод скользящих сумм и скользящих средних.
4. Аналитического выравнивания	1. Выравнивания по прямой. 2. Выравнивание по параболе и экспоненте. 3. Выравнивание по ряду Фурье.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года ( ) , затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда ( ) , и затем определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда

. (75)

Пример. Рассчитаем индексы сезонности на месячных данных о внутригодовой динамике числа браков, расторгнутых населением условного горда за 1996 – 1998гг., представленных в таблица 35.

Алгоритм расчета

1. По данным таблицы 35 вычислим усредненные значения уровней по одноименным периодам способом средней арифметической простой

Январь: = ( 195 + 158 + 144)/ 3 =165,7

Февраль = ( 164 + 141 + 136)/ 3 =1 147,0 и т.д. ( гр. 4 таблицы 35)

3. Используя вычисленные выше помесячные уровни ( ) рассчитываем общий средний уровень

;

или ,

где m - число лет;

- сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

Таблица 35 -Динамика браков, расторгнутых населением условного города, и расчет индексов сезонности

Месяц	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности
уi	уi	уi	В среднем за три года
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь				165,7 147,0 150,7 136,0 136,0 125,7 126,0 120,7 118,0 128,0 131,7 139,3	122,4 108,6 111,3 100,4 100,4 92,8 93,1 89,1118 87,2 94,5 97,3 102,9
Средний уровень ряда	138,77	135,6	131,8	= 135,4	100,0

4. Рассчитываем по месяцам индексы сезонности

Январь I_S1 = 165,7/135,4 * 100% = 122,4%;

Февраль I_S2 = 147,0/135,4 * 100% = 108,6%; и т. д. (гр.5. таблица 35)

Вывод. Полученная совокупность индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа браков, расторгнутых населением города, во внутригодовой динамике.