Взаимосвязь комбинаторики, теории вероятностей, статистики с разделами школьного курса математики и других дисциплин

Почти все содержательные линии курса матема­тики находят применение при изучении комбинато­рики, теории вероятностей и статистики. Это и вычисления, и преобразование выражений, и уравнения, и элемен­ты геометрии.

Но с применением элементов комбинато­рики, теории вероятностей и статистики в других разделах школьного курса математики дело обстоит значительно хуже. Важно, чтобы данная со­держательная линия естественно использовалась в курсе математики. Во-первых, если новый материал будет изучаться не в рамках одной темы, а на протя­жении всего периода обучения, то с повестки дня сни­мется вопрос о применении изученного материала. Во-вторых, три раздела новой содержательной линии — комбинаторику, теорию вероятностей, статистику — надо изу­чать в тесной связи друг с другом. Но все сказанное касается внутренних связей новой содержательной линии. Этого слишком мало.

Поэтому стоит задача свя­зать новую содержательную линию курса математи­ки с другими. Для адаптации традиционного содержания к целям содержательной линии «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» необходимо использовать следующие средства:

-разнообразные задачи, способствующие формированию комбинаторного стиля мышления;

-задания на сбор, систематизацию, наглядное представление и анализ данных, представленных в обозримых выборках;

-задачи на применение схем для вычисления вероятностей.

Однако общие подходы не исключают и установ­ления отдельных, лишь бы не искусственных, свя­зей. Можно решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операций над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями; при изучении делимости чисел, умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений. Основные комбинатор­ные схемы целесообразно применять при решении комбинаторных геометрических задач. Схе­мы для вычислениявероятностей можно с успехом использовать для суммирования бесконечных рядов. Известны применения вероятностей к решению нера­венств. Использование метода Монте-Карло для вычисления определенного интеграла. Статистический характер имеют правила под­счета цифр. Перечень таких примеров мож­но продолжить. Упомянутые вопросы могут стать предметом рассмотрения на внеклассных занятиях.

Приведу пример использования кодов, составленных из цифр 0, 1 при решении уравнений с параметрами.

Сколько решений может иметь уравнение ах+b=0?

Применим цифры 0, 1 для ответа на вопрос задачи. Разделим все значения коэффициентов а и b на два класса: нулевые и ненулевые. Обозначим первый класс цифрой 0, второй —цифрой 1. Двухзначных кодов, составленных из цифр 0, 1, всего 4. Это коды: 00, 01, 10, 11. Пусть первый разряд двухзначного кода обозначает а, второй — b. Тогда коду 00 соответствуют значения а = 0, b = 0. В этом случае уравнение 0·x + 0 = 0 представляет собой тождество 0·x+ 0 = 0, которому удовлетворяет бесконечное множество значений х. Второй код 01 приводит к уравнению 0·x + b = 0 (где b≠0), которое не имеет решений. Коду 10 соответствует уравнение аx=0 (а≠0), которое имеет единственное решение х=0. Наконец код 11 дает случай, когда а≠0, b≠0. Тогда х=Ь/а — единственное ненулевое решение.

Рассмотрим все случаи решения уравнения ах^г+Ьх+с=0 в зависимости от значения коэффициентов а, b, с.

Трехзначных кодов, составленных из цифр 0 и 1, всего восемь. Будем считать, что первая буква каждого такого слова соответствует параметру а, вторая — b, третья — с. (цифра 0 в коде означает, что коэффициент равен 0, цифра 1 в коде — отличен от 0.) Мы получим следующие восемь случаев решения указанного уравнения:

000 (а=0, b=0, с=0) — уравнение имеет бесконечное множество решений;

001 (а=0, b=0, с≠0) —уравнение решений не имеет;

010 (а = 0, b≠0, с=0) — единственное решение х=0;

011 (а=0, b≠0, с≠0) — единственное решение х= -с/Ь;

101 (а≠0, b=0, с≠0) — два корня x₁=√-с/а , x₂=-√-с/а, которые являются действительными при ас<0 и мнимыми при ас>0;

100 (а≠0, b=0, с=0) — два нулевых корня;

110 (а≠0, b≠0, с=0)— два различных корня x₁=0, x₂=-Ь/а;

111 (а≠0, b≠0, с≠0) — два корня x₁=(-b-√D)/а , x₂=(-b+√D)/а, где D=b²-4ac.

Вопрос о наличии действительных корней решается в зависимости от знака D.

Другой пример показывает применение комбинаторного правила произведения при нахождении количества делителей.

На рисунке выписаны все натуральные делители чисел 96 и 144. Все делители числа 96 разбиваются на пары дополнительных друг другу делителей (на рисунке они соединены дугами), а у числа 144 один из делителей, 12, является дополнительным к самому себе, поскольку 144= 12². Из симметрии множества делителей следует такое утверждение:

Если число п не является квадратом целого числа, то у него четное число делителей, а если является — то нечетное.

В самом деле, каждому делителю а числа п, меньшему √п, соответствует делитель п/а, больший √п. Поэтому делителей, отличных от √п, всегда четное число. Если же п=к², то к ним добавляется еще один делитель к.

Пусть d(п) — количество делителей натурального числа п. Как показано выше, если п — полный квадрат, то d(п) — нечетное число (например, d(144)=15), а если нет, то d(п) — четное число (например, d(96)=12). Покажем теперь, как, зная разложение числа п на простые множители, находить значение d(п).

Прежде всего, заметим, что при простом p всегда d(p^α) = α+1.

Действительно, по определению, простое число р имеет только два делителя: 1 и р, а в силу следствия из основной теоремы арифметики число p^α имеет α+1 делителей: 1, р, р²,..., p^α .

Рассмотрим теперь число п с двумя различными простыми множителями, например п=144 = 2⁴·3². Все его делители имеют вид 2^β1·3 ^β2, где β₁ может принимать любое из пяти целых значений от 0 до 4, β₂ — одно из трех значений 0, 1 или 2. Значит, всего различных пар (β₁; β₂) может быть 3·5=15, так что d(144)=15. Здесь мы воспользовались комбинаторным правилом произведения.

Это правило позволяет написать формулу для числа делителей любого п= p₁^α1 · p₂^α2 ·…· p_к^αк . В самом деле, согласно следствию из основной теоремы арифметики, любой делитель числа п имеет вид p₁^β1 · p₂^β2 ·…· p_к^βк, где β_i принимает одно из а_i+1 значений 0,1,…, а_i. Следовательно, количество разных наборов (β₁, β₂,…, β_k), а значит, и различных делителей числа п, равно

d(n)=( α₁+1)( α₂+1)…( α_k+1).

Комбинаторные доказательства прочно укореняются в памяти, несут дополнительную информацию. Так малую теорему Ферма, которую рассматривают в классах с углубленным изучением математики, можно доказывать с помощью бинома Ньютона, а еще она может быть получена из комбинаторной задачи о числе ожерелий с заданными типами бусинок. Вообще комбинаторика является притоком свежих идей в преподавание алгебры школьникам.

Применение математического аппарата к решению задач других учебных дисциплин, установление межпредметных связейсодержат в себе еще один важный мировоззренческий аспект: существование межпредметных связей является объективной закономерностью, отражающей взаимосвязь явлений действительного мира.

Психологами давно доказано, что взаимосвязанное, логическое изучение учебных предметов наиболее благоприятно для лучшего усвоения учебного материала, повышения интереса учащихся к изучаемым предметам, для развития их мыслительных способностей.

Успех введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики во многом зависит от того, будет ли материал этой содержательной линии применяться в таких пред­метах, как физика, химия, биология, история, геогра­фия. И наоборот, будет ли материал из этих дисциплин использоваться на уроках математики как мотив для изучения новых понятий, фактов, методов, как иллюс­трация изучаемого материала, как источник построе­ния математических (вероятностных) моделей и т.п.

Для сознательного усвоения определенного матери­ала из других предметов учащийся, а еще больше учи­тель смежных предметов, должен владеть соответствующими вероятностно-статистическими понятиями и фактами. С другой стороны, учитель математики дол­жен быть знаком с применениями элементов комбинаторики, теории ве­роятностей и математической статистики в школьных предметах, использовать их на уроках математики.

Методика формирования базовых понятий должна отличаться от той, которая используется в традиционной методике преподавания отдельных тем школьной математики. Связано это с тем, что сам материал стохастической линии по своей структуре является новым «витком», позволяющим оторваться от сложных строго определённых связей в явлениях к случайным, зависящим от ряда обстоятельств, которые не могут быть учтены заранее.

Непосредственное участие школьников в моделировании реальных процессов позволяет рассматривать стохастику как средство познания окружающей действительности. Теперь новое понятие – не самоцель, а возможность для анализа. Причем незнание одного отдельного компонента не дает возможности для полноценного понятия общего в явлении. Именно это обстоятельство обуславливает стремление школьников к более прочному усвоению новых понятий.

Возможная схема формирования понятий: термин →определение →прикладное значение

Покажу методику формирования основных (базовых) понятий на примере.

Ввести термины «опыт», «событие», «элементарное событие», формулировки данных терминов, предложить следующие примеры (прикладного характера).

Пример 1. Вытягивание карты из колоды – опыт; выделение углекислого газа при взаимодействии лимонной кислоты с раствором питьевой соды – событие.

Пример 2. Пусть дан раствор аммиачной селитры , в котором происходит процесс электролитической диссоциации (распад на ионы и ). Тогда возможны два элементарных события:

={образование ионов }; ={образование ионов }.

Рассматривая понятия «достоверное», «невозможное» и «случайное» события, следует прибегнуть к конкретным примерам, дабы показать их прикладную сторону, а не чисто абстрактную.

Пример 3. M={если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 35⁰ С, то она в жидком состоянии} или H={образование белого творожистого осадка хлорида серебра в результате взаимодействия поваренной соли с нитратом серебра} – достоверные события; C={формирование зелёных семян гороха при опылении гомозиготных растений с жёлтыми и зелёными семенами} или F={появление двух выигрышей по одному лотерейному билету} – невозможные события; L={появление в ходе реакции (неконтролируемой) разветвлённой молекулы полимера} или N={выпадение какой-либо грани при подбрасывании игрального кубика} – случайные события.

На закрепление данных базовых понятий учащимся может быть предложено следующее задание. Укажите, какие из следующих, на Ваш взгляд, событий невозможные, какие – достоверные, а какие – случайные:

А={футбольный матч «ЦСКА» – «Спартак» закончится вничью};

В={Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};

D={в полночь выпадет снег, а через 48 часов будет светить солнце};

Е={Вас изберут президентом Нидерландов};

F={образование белого осадка бромида серебра в результате взаимодействия бромида калия с нитратом серебра}.

Работа с понятиями по данной схеме обеспечит более глубокое и детальное понимание школьниками изучаемого вероятностно-статистического материала. При такой системе оказывается возможным установление межпредметных связей в процессе обучении, что даёт возможность ещё раз подчеркнуть значимость изучаемого на уроке вопроса и всей линии в целом.

Природа человека интегральна по своей сущности, и эта интегральность в человеке изначальна: физическое тело, разум и духовность неразделимы. Достаточно убрать одну из трёх составляющих личности человека – исчезнет сам человек. Наивысшая форма интеграции – философское взаимопроникновение различных теорий, позволяющих представить мир как целостную картину бытия. Академик Ландау говорил: “Человек в процессе познания природы может оторваться от своего воображения, он может открыть и осознать даже то, что ему не под силу представить”.

Главным условием достижения устойчивых положительных результатов использования интеграцииявляется оптимизация процесса обучения математике на основе активной познавательной и творческой деятельности учащихся, создания на уроке атмосферы совместной творческой деятельности учителя и учеников, исследовательский характер работы учащихся, разработка мотивационных условий и др.

Интеграция уроков математики с другими учебными предметами позволяют многогранно рассмотреть многие важные явления, связать уроки математики с жизнью, показать богатство и сложность окружающего мира, дать детям заряд любознательности, творческой энергии. У ребят появляется возможность создать не только собственную модель мира, но и выработать свой способ взаимодействия с ним. Учителю же интеграция предметов позволяет воспитывать у ребят желание к целенаправленному преодолению трудностей на пути познания.

Цель интегрированных курсов – формирование целостного и гармоничного понимания и восприятия мира. Для достижения этой цели создается комплексная программа интегрированного курса, для которого очень важен как отбор содержания, так и принцип её конструирования. Затем – проектирование интегрированных уроков, учебных заседаний и способов оценки результатов учебной деятельности учащихся.

Интегрированные уроки математики с другими предметами обладают ярко выраженной прикладной направленностью и вызывают несомненный, познавательный интерес учащихся.

В школьном курсе математики существует достаточно много тем, которые способствуют осознанному восприятию биологических понятий и известных биологических законов. Например, «Золотое сечение и гармония форм природы», «Геометрическая прогрессия и потенциальные возможности размножения организмов», «Вариационный ряд и вариационная кривая при изучении модификационной изменчивости», «Теория вероятностей и генетика популяций».

В курсе общей биологии при изучении статистических закономерностей модификационной изменчивости учебные программы позволяют ознакомить учащихся с приемами биостатистики. Эти приемы вычисления средней арифметической величины варьирующего признака, построения вариационного ряда и вариационной кривой и другое. Они обоснованы теорией вероятности и позволяют раскрыть учащимся закономерности изменчивости, возникающей у организмов с одной и той же наследственной основой под влиянием разных условий жизни. Важно подчеркнуть практическое значение математического описания варьирования количественных признаков у особей одного вида, одной породы или сорта при их выведении в разных природных климатических районах, а также значение использования биостатистики в систематике, генетике, селекции, медицине.

Пример. Модификационная изменчивость многих признаков растений, животных и человека подчиняется общим закономерностям. Эти закономерности выявляются на основании анализа проявления признака у группы особей.

Каждое конкретное значение изучаемого признака называют вариантойи обозначают буквой v. Частота встречаемости отдельных вариант обозначается буквой р.

При изучении изменчивости признака в выборочной совокупности составляется вариационный ряд, в котором особи располагаются по возрастанию показателя изучаемого признака. На основании вариационного рядя строится вариационная кривая— графическое отображение частоты встречаемости каждой варианты.

Например, если взять 100 колосьев пшеницы (п) и подсчитать число колосков в колосе, то это количество будет от 14 до 20 — это численное значение вариант (v).

Вариационный ряд:

v = 14 15 16 17 18 19 20

Частота встречаемости каждой варианты:

р= 2 7 22 32 24 8 5

Легко посчитать и среднее значение данного признака. Для этого используют формулу: М=Σ(vp)/n, где М — средняя величина признака, в числителе сумма произведений вариант на частоту их встречаемости, в знаменателе — количество вариант. Для данного признака среднее значение равно 17,13.

Устойчивые положительные результаты использования интеграции:

· создается психологический комфорт для приобретения учащимися знаний и для самовыражения;

· развиваются коммуникативные качества и общеучебные умения, повышается интерес к знаниям;

· развивается самостоятельность пользования научно-популярной литературой, умение выбирать главное из текста, делать небольшие сообщения по выбранной теме;

· увеличивается творческий потенциал учащихся, развивается логическое мышление, коммуникативные способности;

· использование различных видов работы в течении урока позволяет поддерживать внимание учеников на высоком уровне, снижает утомляемость, снимает усталость им перенапряжение;

· интегрированный урок вовлекает учителей – предметников в совместную работу;

· нестандартная форма проведения уроков дает возможность для самовыражения, самореализации и творчества учителя, способствует более полному раскрытию его способностей.