При выполнении действий одной ступени без скобок, действия выполняются по порядку слева направо.

В-третьих, при выполнении данного вида вычислений не нужны специальные вычислительные действия какого-то нового вида, а требуется лишь последовательное применение принципа образования чисел в натуральном ряду.

Например:

Вычислите 6+1 + 1.

(Прибавляя к 6 единицу, получаем число следующее — это 7; прибавляя к 7 единицу, получаем следующее число — это 8. Значит, 6 + 1 + 1 = 8.)

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку — прибавляя единицу дважды, ребенок делает вправо от числа 6 два «шага», получая ответ наглядно (на первых порах эти «шаги» полезно прослеживать пальцем).

При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 6 пальцам, или, в крайнем случае, сосчитывая заново все количество отогнутых (загнутых) пальцев.

Аналогично ребенок действует в случае вычислений вида а - 1 - 1. В этом случае используется понимание образования числа предыдущего к данному и знание последовательности чисел в обратном порядке.

Вычислительный прием а ± 2 является случаем, объединяющим последовательное присчитывание (отсчитывание) двух единиц к числу, производимое в предыдущем случае.

При прибавлении к любому числу двух, ребенок заменяет его на сумму двух единиц и последовательно присчитывает (отсчитывает) их от числа.

Например: 3 + 2 = 3+1 + 1

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку — прибавляя два, ребенок делает вправо от числа два «шага», получая ответ наглядно.

В качестве наглядной модели удобно также использовать счеты, поскольку прибавляя или вычитая 2, ребенок чаще всего перебрасывает дважды по одной косточке, фактически моделируя приведенную выше схему приема. Если ребенок сначала сосчитывает на счетах две косточки, а потом перебрасывает их, он, как правило, затем при нахождении результата сосчитывает заново все количество оставшихся (полученных) косточек. Этот способ выполнения вычислений показывает, что ребенок понимает смысл действий, но приемами присчитывания и отсчитывания по каким-то причинам не пользуется. В этом случае следует заменить счеты на линейку.

При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает два пальца, присчитывая (или отсчитывая) два или сосчитывая весь результат.

Методически ставится цель довести умение ребенка прибавлять и отнимать 2 до состояния навыка, т. е. до запоминания результатов прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть:

1) 1 + 2 = 3 5 + 2 = 7 3-2=1 7-2 = 5

2) 2 + 2 = 4 6 + 2 = 8 4-2 = 2 8-2 = 6

3) 3 + 2 = 5 7 + 2 = 9 5-2 = 3 9-2 = 7

4) 4 + 2 = 6 8 + 2 = 10 6-2 = 4 10-2 = 8

Таблица сложения и вычитания двух содержит самое большое количество случаев, а поскольку она изучается первой, многие дети испытывают большие трудности, пытаясь заучить этот объем.

Если ребенок хорошо владеет приемами присчитывания и отсчитывания, он всегда может вычислить забытый случай из таблицы, используя осознанную вычислительную деятельность. Для многих детей с проблемами процессов запоминания (это характерно для многих часто болеющих детей, что обусловлено действием некоторых медицинских препаратов, для детей с синдромом дефицита внимания, с гиперподвижностью, для детей с задержкой развития и т. д.) формирование осознанной вычислительной деятельности — это единственно возможный путь избежать мучительного и бессмысленного зазубривания.

Если при изучении чисел в пределах 10 (в разделе «нумерация в пределах 10»), ребенок выучил наизусть состав однозначных чисел и легко его воспроизводит, то проще всего для запоминания таблицы сложения и вычитания связать соответствующие случаи с составом однозначных чисел:

3 значит 3 = 1 + 2 тогда 1 + 2 = 3, а 3 - 2 = 1

Л

1 2

7 значит 7 = 5 + 2 тогда 5 + 2 = 7, а7-2 = 5

А

5 2

При опоре на состав числа имеет смысл сразу ориентировать ребенка на составление и запоминание тройки взаимосвязанных равенств:

8 6 + 2 = 8, 8-2 = 6, 8-6 = 2

Л

6 2

Умение прибавлять и вычитать 2 является опорным умением для формирования дальнейшей вычислительной деятельности.

Вычислительные приемы а ± 3 и а ± 4 могут выполняться последовательным присчитыванием или отсчитыванием по 1:

8-4 = 8-1-1-1-1; 6 + 3 = 6+1 + 1 + 1

В этом случае используется ссылка на понятие числа предыдущего и последующего. Может быть использована линейка, по которой ребенок делает нужное количество «шагов» вправо или влево от заданного числа, или пальцевой счет. Методически этот способ считается менее совершенным, чем прибавление и вычитание по частям для данных вычислительных приемов.

Прибавление (или вычитание) по частям предполагает раскладывание второго слагаемого (или вычитаемого) на удобные для выполнения вычислений составные части, и последовательное их прибавление (или вычитание):

Например:

Приведенные примеры показывают, что с приемами а ± 3 и а ± 4 легче справиться тем детям, которые помнят наизусть результаты случаев прибавления и вычитания двух, или могут достаточно быстро найти (вычислить) эти результаты.

Именно для освоения вычислений вида а ± 3 и а ± 4 предыдущую таблицу для случая а ± 2 учитель требовал заучивать наизусть.

После освоения приема вычислений по частям, составляют таб­лицы для случаев а ± 3:

1+3=4 2+3=5 3+3=6

4+3=7 5+3=8 6+3=9 7+3=10

4-3=1 5-3=2 6-3=3

7-3=4 8-3=5 9-3=6 10-3=7

а также а ± 4:

1+4=5 2+4=6 3+4=7

4+4=8 5+4=9 6+4=10

5-4=1 6-4=2 7-4=3

8-4=4 9-4=5 10-4=6

Первая таблица содержит 14 случаев, вторая таблица содержит 12 случаев. В сумме с 16 случаями таблицы прибавления двух получается 42 случая. Неудивительно, что очень многие дети на этапе изучения табличного сложения и вычитания в пределах 10 испытывают массу трудностей, в связи с необходимостью в достаточно короткие сроки заучить наизусть большой объем формализованного материала. При этом единственным мотивом изучения этого объема наизусть для ребенка выступает требование учителя. Все задания на решение примеров в этот период (а также на решение задач, на сравнение выражений и т. п.) требуют воспроизведения наизусть табличных случаев сложения и вычитания вразбивку. Поэтому, если ребенок учил таблицу наизусть подряд (например, по возрастанию результатов и т. п.), то даже легко отвечая ее результаты подряд, он может ошибаться при воспроизведении таблицы вразбивку, и тем более при необходимости воспроизводить враз­бивку случаи из разных таблиц.

В связи с этим при запоминании таблиц для случаев вида а ± 3 и а ± 4 многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребенка на использование состава числа как основы для запоми­нания таблиц сложения и вычитания. При ориентации на состав числа удобнее делать акцент не на составление и заучивание таблицы каждого случая целиком, а на составление и запоминание взаимосвязанных троек:

9 9 = 5 + 4, значит, 5 + 4 = 9; 9-4 = 5; 9-5 = 4

5 4

В качестве внешней опоры при вычислении случаев вида а ± 3 и а ± 4 может быть использована линейка, счеты, пальцевый счет. Для ускорения вычислений в домашних условиях (при выполнении домашней работы) часто используют треугольную таблицу, помогающую найти результат суммирования любых пар чисел в пределах 10. Такая таблица может быть повешена над столом ребенка. Постоянное обращение к ней при выполнении домашних заданий более полезно, чем использование калькулятора, поскольку зрительный образ соответствующих случаев постепенно запоминается ребенком, пополняя тем самым количество запомненных наизусть случаев табличного сложения и вычитания.

Таблица сложения и вычитания:

						4 + 2 = 6 6-2 = 4 6-4 = 2

Перестановка слагаемых Правило перестановки слагаемых:

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Свойство перестановки слагаемых (переместительное свойство сложения) используется в 1 классе при знакомстве с вычислительными приемами вида а + 5, а + 6, а+ 7, а + 8 и а + 9.

В этих случаях второе слагаемое больше первого (поскольку рассматриваются случаи сложения в пределах 10). Применение при вычислениях перестановки слагаемых позволяет свести все эти случаи к ранее изученным.

Например: 2 + 8 = 8 + 2 = 10.

Перестановка слагаемых может рассматриваться как прием вычислений.

Этот вычислительный прием облегчает вычислительную деятельность и является общим приемом вычислений при сложении любых чисел.

Например: 12 + 346 = 346 + 12 = 358

Прием перестановки слагаемых позволяет составить краткую таблицу сложения в пределах 10:

2 + 2 = 4

3 + 2 = 5

4+2=6 3+3=6

5+2=7 4+3=7

6+2=8 5+3=8 4+4=8

7+2=9 6+3=9 5+4=9

8 + 2 = 10 7 + 3 = 10 6 + 4=10

С учетом свойства перестановки слагаемых данная таблица включает все случаи сложения в пределах 10. Таблица содержит 15 случаев и, безусловно, ее заучивание для ребенка намного более легкая задача, чем заучивание полной таблицы.

Данная таблица появляется значительно позднее, чем начина­ется заучивание таблиц (для случаев а±\,а±2, а±3, а ±4) сложе­ния и вычитания в пределах 10, поэтому не выполняет своей облегчающей вычисления задачи. На данный момент дети уже заучивали 42 случая предыдущих таблиц, и поэтому все случаи часто смешиваются. В связи с этим, некоторые альтернативные учебники (например, учебник Н.Б. Истоминой) сначала знакомят детей со сложением, его свойствами и таблицей сложения, а после того, как эти таблицы ребенком усваиваются, знакомят первокласс­ника с действием вычитания и таблицу вычитания рассматривают отдельно от таблицы сложения.

Случаи вида «вычесть 5, 6, 7, 8, 9», символически обозначаемые в учебниках П - 5, П - 6, 0 - 7, П - 8, П - 9, являются вычислительными приемами, основанными на составе однозначных чисел и взаимосвязи между суммой и слагаемыми.

С правилом взаимосвязи суммы и слагаемых дети знакомились ранее (см. выше). Состав чисел изучался в разделе «Нумерация в пределах 10».

Используя эти знания, дети осваивают прием вычитания чисел больше 5:

8-5 = 3

Л

7-6=1

А

35 61

(8 — это 3 и 5; 8 без 5 — это 3.)

10-7 = 3

Л

Сложение и вычитание с нулем Основное свойство нуля:

Прибавление и вычитание нуля результата не меняет.

В общем виде это свойство можно записать так: а±0 = аиО±а = а.

Порядок действий в выражениях без скобок

Порядок действий в выражениях без скобок в первом классе определяется следующим образом:

В выражении, содержащем сложение и вычитание, или несколько знаков сложения, или несколько знаков вычитания, действия выполняются по порядку слева направо.

Это правило не содержится в учебнике, учитель знакомит с ним детей в процессе решения соответствующих примеров. Например:

Вычисли:

3 + 6 - 7 = ...; 8 - 2 + 4 = ...; 7 - 3 - 2 = ...; 5 + 2 + 3 =* ...

При решении этих примеров детям в 1 классе не разрешается пользоваться правилом группировки слагаемых, являющимся приемом рациональных вычислений.

Это правило появляется только во втором классе при изучении приемов вычислений в пределах 100, где детям сообщается:

Два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Такой методический подход объясняется тем, что раннее знакомство с этим приемом может быть воспринято ребенком как общее свойство для случаев сложения нескольких чисел, а также вычитания нескольких чисел.

В практике иногда наблюдается, что ребенок, полагающий, что это правило общее для сложения и вычитания, выполняет вычитание нескольких чисел следующим образом:

8 - 3,- 2 = 7, так как 3 - 2 = 1, а 8 - 1 = 7,

что, естественно, неправильно.

Поскольку в большинстве учебников для начальных классов действия сложения и вычитания рассматриваются одновременно, для избегания подобных ошибок при выполнении действий правило группировки слагаемых в первом классе не используется. В этом случае правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок в первом классе является единым.

Группировка слагаемых

В некоторых альтернативных учебниках (например, в учебнике Н.Б. Истоминой) правило группировки слагаемых в неявном виде (без сообщения его учащимся) используется уже при изучении вычислительных приемов первого десятка. Это объясняется тем, что дети знакомятся сначала только со сложением и потому рассматривают все правила только относительно сложения (перестановка слагаемых, группировка слагаемых).

Например:

Можно ли утверждать, что значение выражений в каждом столбике одинаковы?

1 + 2 + 2^+1 2+1 + 1 + 1 1+4+1 2+2+1

1+2+3 2+1+2

1+5 2+3

Подразумевается, что при объяснении равенства значений вы­ражений в каждом столбике ребенок суммирует слагаемые, начиная со второго, т. е. такой прием считается допустимым.

(Сумма чисел 2,2 и 1 равна 5, сумма 4и1 также равна 5, сумма 2 и 3 также равна 5. Во всех случаях первое слагаемое равно 1 и к нему прибавляются одинаковые суммы, значит результаты равны.)

3. Вычислительные приемы для чисел второго десятка

Разрядные случаи сложения и вычитания

Разрядными случаями сложения и вычитания во втором десят­ке считаются случаи вида:

10 + 2. 2+10 12-2 12-10

При нахождении значения данных выражений ссылаются на разрядный (десятичный) состав чисел второго десятка. Например:

12 значит, 12 - 10 = 2 10 + 2 - 12

/\ 12-2 = 10 2 + 10 = 12

10 2

Комплексные примеры на применение знания разрядного со­става и вычислительных приемов первого десятка:

Вычисли: 2 + 8 + 3 = ...

V

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. 2 + 8 = = 8 + 2 = 10 по свойству перестановки слагаемых. 10 + 3 = 13

Вычисли: 17 — 7 — 1=...

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. Число 17 состоит из 10 и 7, значит 17 - 7 = 10. Вычитая из 10 один, по­лучаем число предыдущее — это 9.

Переход через десяток

Наиболее сложным для большинства детей является прием сло­жения и вычитания с переходом через десяток. Это случаи вида: 8 + 5,13 - 7.

Сложение с переходом через десяток

Схема приема: 8 + 5 = 10 + 3 = 13

(2 3

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три после­довательно выполняемых вычислительных действия:

1) второе слагаемое раскладывается на составные части таким образом, чтобы одна из частей в сумме с первым слагаемым соста­вила число 10;

2) первое слагаемое складывается с частью второго слагаемого, образуя промежуточное число 10;

3) к промежуточному числу 10 прибавляется оставшаяся часть первого слагаемого (во всех случаях здесь имеет место разрядное суммирование) для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен: 1) запомнить после­довательность действий; 2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные час­ти (знать состав однозначных чисел); 3) уметь дополнять любое однозначное число до 10 (знать состав числа 10); 4) уметь выпол­нять разрядное сложение в пределах второго десятка.

Многие дети испытывают большие трудности при освоении это­го сложносоставленного приема вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Ориентируясь по линейке, ребенок отмечает первое слагаемое, а затем делает вправо от него нужное количество «шагов» (в соответствии со значением второго слагаемого). Результат последнего «шага» совпадает со значением суммы. Аналогично можно использовать счеты.

Некоторые дети (ведущие кинестетики, о которых говорилось выше) с успехом продолжают использовать пальцевый счет. В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы, пока хва­тает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго сла­гаемого уже к десятку: 8 да еще два пальца — 9,10. Переход на дру­гую руку — еще три пальца —11, 12, 13. Фактически этот способ счета моделирует присчитывание по одному, как и использование линейки. При прибавлении чисел больше 5 этот способ несколько тормозит работу ребенка, но по крайней мере дает ему возможность' самостоятельно получить результат действия.

В настоящее время на первый план в педагогике начального обучения выходят требования организации личностно-ориентированного обучения, это означает, что в обучающем процессе необходимо учитывать своеобразие и индивидуальность способа мышле­ния и ведущего способа познания каждого ребенка. Дети с прева­лирующей функцией аналитического мышления легко осваивают этот прием, требующий пошагового выполнения трехступенчатого действия в уме. Дети с превалирующей функцией синтетического мышления осваивают прием с большими трудностями. В некото­рых альтернативных учебниках математики для начальных классов (в первых изданиях стабильного учебника 1968 г., в современных учебниках Н.Б. Истоминой) предлагается знакомить детей с этим приемом значительно позже — после того, как они освоят всю ну­мерацию в пределах 100 и научатся выполнять все виды вычисле­ний без перехода через десяток, в том числе и вида 64 + 12.

Методически ставится задача довести умение ребенка выпол­нять вычисления во втором десятке до автоматизма. Это означает, что учитель, как правило, ставит задачу — выучить результаты всех случаев сложения и вычитания в пределах второго десятка наи­зусть. С этой целью в учебнике на каждом уроке этой темы (начало второго класса) дается по три случая для заучивания наизусть. На­пример: 9 + 2 = И, 9 + 3 = 12, 8 + 3 = 11.

Всего случаев, требующих запоминания 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в случае, когда второе слагае­мое больше первого, можно применить перестановку слагаемых).

9 + 2 = 11	9 + 3=12	8 + 3 = 11
7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13
9 + 5 = 14	8 + 5 = 13	7 + 5 = 12	6 + 5 = 11
9 + 6=15	8 + 6 = 14	7 + 6=13	6 + 6=12
9 + 7 = 16	8 + 7 = 15	7 + 7 = 14
8 + 8=16	9 + 8 = 17	9 + 9 = 18

В качестве приема, помогающего некоторым детям быстрее за­помнить результаты этих вычислений, можно использовать прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, поскольку сумма одинако­вых слагаемых запоминается детьми значительно легче, чем сум­ма разных слагаемых.

Например, легко запоминается сумма 5 + 5=10. Рассматривая любую сумму, в которой одно из слагаемых — число 5 и зная свойство суммы:

При увеличении любого слагаемого на несколько еди­ниц сумма увеличивается на столько же единиц.

Можно получить значение соответствующего выражения: 7 + 5 = 5 + 5 + 2 = 10 + 2 = 12

А

Дети легко запоминают суммы:

6 + 6=12 7 + 7=14

8 + 8=16 9 + 9=18

Используя их как «базовые», ребенок может получить нужный результат присчитывая соответствующее количество единиц к сум­ме или отсчитывая: 8 + 9 = 8 + 8+1 = 16 + 1 = 17.

7^1295

Вычитание с переходом через десяток

Схема приема: 14-9 = 5

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три после­довательно выполняемых вычислительных действия:

1) вычитаемое раскладывается на составные части таким обра­зом, чтобы одна из частей при вычитании из уменьшаемого соста­вила число 10;

2) из уменьшаемого вычитается часть вычитаемого, образуя про­межуточное число 10;

3) из промежуточного числа 10 вычитается оставшаяся часть вычитаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения лю­бого однозначного числа на составные части (знать состав одно­значных чисел);

3) уметь выполнять разрядное вычитание в пределах второго десятка;

4) уметь вычитать любое однозначное число из 10 (знать состав числа 10).

Многие дети испытывают большие трудности при освоении это­го сложносоставленного приема вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Ориентируясь по ней, ребенок отмечает уменьшаемое, а затем делает влево от него нужное количе­ство «шагов» (в соответствии со значением вычитаемого). Резуль­тат последнего «шага» совпадает со значением разности. Анало­гично можно использовать счеты.

Некоторые дети (кинестетики) с успехом продолжают использо­вать пальцевый счет и при выполнении вычитания во втором десятке. В этом случае они, имея в виду десяток «в уме», в случае нехватки паль­цев, занимают «пятки» и продолжают отсчитывать, пока не отсчитают нужное количество пальцев (в соответствии со значением вычитаемого).

Другая схема выполнения вычитания с переходом через десяток

Алгоритм приема (правило вычислений) и в этом случае содер­жит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1) уменьшаемое раскладывается на разрядные составляющие;

2) от десятка уменьшаемого отнимается вычитаемое, которое всегда меньше 10, образуя промежуточное число;

3) промежуточное число складывается с оставшейся частью уменьшаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь раскладывать числа второго десятка на разрядные со­ставляющие;

3) уметь выполнять вычитание в пределах 10;

4) уметь складывать однозначные числа в пределах 10. Перечень действий содержит такое же количество шагов, как

и в случае первой схемы, но многим детям использовать этот способ легче, поскольку он не требует мысленного подбора подходящего разложения на составные части вычитаемого. Логика действий здесь последовательная, больше соответствует синтетическому сти­лю мыслительной деятельности, поэтому часть детей осваивает этот способ значительно легче, чем первый.

В целом таблица вычитания с переходом через десяток содер­жит 36 случаев, которые предлагаются детям для запоминания наизусть. Запоминание такого большого количества случаев для многих детей представляет большую проблему.

Дети, успешно использовавшие прием опоры на значения сумм одинаковых слагаемых, могут использовать этот же прием при вы­полнении вычитания.

Например:

16 -7 = (8 + 8) -7 = 1+8 = 9

(16 это два раза по 8. Из одной восьмерки заберем 7, оста­нется 1. Да еще оставалась одна восьмерка, вместе — 9.)

Освоение способов вычислений с переходом через десяток со­ставляет базу для дальнейшего освоения устной вычислительной деятельности в пределах 100 и письменных вычислений.

Порядок действий в выражениях со скобками

Вторым правилом, определяющим порядок выполнения дейст­вий в выражениях, является правило выполнения действий в выра­жениях со скобками:

Действие, записанное в скобках, выполняется первым.

С этим правилом дети знакомятся во 2 классе.

Правило сообщается детям в качестве непреложного факта и путем сравнения разных вариантов значений выражений, пока­зывается, что нарушение этой установки ведет к получению непра­вильных результатов.

Например:

(10-6)+ 3 = 7 10-(6 + 3)-1

Никаких нарушений этого правила во втором классе не допуска­ется.

С математической точки зрения скобки в первом приведенном выше примере не играют никакой роли и могут быть опущены, по­скольку правило выполнения действий в выражениях, содержащих более одного арифметического действия требует, чтобы первым вы­полнялось вычитание, а вторым — сложение. Во втором выраже­нии наличие скобок меняет порядок действий, оговоренный ранее, и требует первым выполнить сложение, т. е. в этом случае скобки имеют значение.

Чтобы не путать ребенка разнородными указаниями, учитель обычно настаивает на приучении детей к жесткому соблюдению этого правила во всех случаях, чтобы создать стереотип воспри­ятия скобок. Так, для выполнения вычислений вида 9 + (2 + 5) также жестко требуется выполнение действия в скобках первым, хотя технически было бы проще использовать группировку сла­гаемых, тем более, что математически порядок действий при по­следовательном сложении безразличен.

Установка на приоритетность выполнения действия в скобках сохраняется на весь период обучения ребенка в начальной школе.

Родители, помня, что в математике при выполнении алгеб­раических преобразований в старших классах используют правила раскрытия скобок, часто пытаются учить этим правилам младших школьников, поскольку эти правила существенно упрощают вычис­ления во многих случаях. Методически это нецелесообразное дей­ствие, поскольку в третьем и четвертом классе дети изучают еще несколько правил порядка выполнения действий и вычислитель­ных операций, основанных на приоритетности выполнения дейст­вий в скобках.

Два разнородных указания на способ действий при наличии ско­бок в выражениях может запутать ребенка. При этом само понятие «смена знака» при раскрытии скобок подразумевает, что ребенок знает о существовании чисел разных знаков (положительных и от­рицательных), а также понимает смысл операции смены знака.

Поскольку в начальных классах дети знакомятся только с нату­ральными числами, все эти операции не могут быть объяснены без знакомства с отрицательными числами, их свойствами и действия­ми с ними. А это уже программа 5—6 классов школы.