Тема 3. Число элементов в объединении и разности конечных множеств

Теоретический материал

Обозначения:

– количество элементов в множестве A;

– количество элементов в множестве B;

– количество элементов в объединении множеств A и B;

– количество элементов в пересечении множеств A и B.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Задания

1. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества, о которых идет речь в задачах:

а. Из 30 учеников 15 увлекается биологией, а 12 – математикой.

б. В классе 25 учащихся, из них 18 играют в баскетбол, а 15 – в волейбол.

2. В первых классах все участвуют в самодеятельности: 52 ученика поют в хоре, 37 учеников занимаются в танцевальном кружке, а 4 ученика и поют, и танцуют. Сколько учащихся в первых классах?

3. Из 32 учеников класса 12 занимаются в математическом кружке, 15 – в биологическом, 8 человек занимаются и в том, и в другом кружке. Сколько учеников не занимаются ни в одном из кружков?

4. Света положила в коробку 6 треугольников, 3 красных многоугольника и 4 синих круга. Сколько в коробке красных треугольников, если всего в ней оказалось 11 фигурок?

5. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5. Остальные изучают только испанский. Все три языка изучают три студента. Сколько студентов изучает более одного языка? Сколько студентов изучает испанский язык?

6. На уроке литературы учитель провел опрос, какие книги читали его ученики. Из 40 опрошенных сборник фантастики (F) читали 25 учеников, книгу современного прозаика (S) – 22 ученика, книгу поэта-классика (P) – также 22. Книгу F или S читали 33 школьника, F или P – 32, P или S – 31. Только 10 учащихся прочли все 3 книги. Сколько учеников не читали ни одной из этих трех книг? Сколько учеников прочли только по одной книге?

7. В классе 30 учеников, из них 15 учеников посещает химический кружок, 11 – биологический, 4 ученика – и химический, и биологический. 5 учеников участвуют в работе математического и химического кружка, а 3 – математического и биологического. Все три кружка посещает 1 ученик. Остальные учащиеся занимаются только в математическом кружке. Сколько всего учеников занимаются в математическом кружке?

8. Ученик начертил 10 параллелограммов, среди них оказалось 6 ромбов, 5 прямоугольников и 3 квадрата. Есть ли среди начерченных параллелограммов фигуры, которые не являются ни ромбами, ни прямоугольниками? Если есть, то сколько их?

Тема 4. Декартово произведение множеств

Теоретический материал

Обозначения:

– упорядоченная пара, образованная из элементов и ;

А×В – декартово произведение множеств A и B;

– декартово произведение множеств ;

– количество элементов в декартовом произведении множеств A и B;

– количество элементов в декартовом произведении множеств .

Элемент – первая координата (компонента) пары; элемент – вторая координата (компонента) пары.

Декартово произведение множеств А и В (А×В) – множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента – множеству В.

Кортеж – упорядоченный набор 3 и более элементов.

Декартово произведение множеств ( ) – множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂, …, n-я – множеству А_n.

Способы представления декартова произведения множеств:

а) перечисление элементов;

б) граф;

в) таблица;

г) на координатной плоскости.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств

Два множества: .

k множеств: .

Задания

1. Найти декартово произведение множеств:

а. и : , .

б. .

в. .

г. : , .

2. Представьте в виде графа и таблицы декартово произведение множеств , , .

Таблица:

Граф:

3. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение , если:

а. ,

б. , .

в. ,

г. , .

4. Сколько чисел можно составить из цифр 7, 8, 9, если:

а. Числа двузначные, цифры в записи числа не повторяются.

б. Числа двузначные, цифры в записи числа могут повторяться.

в. Числа трехзначные, цифры в записи числа не повторяются.

г. Числа трехзначные, цифры в записи числа могут повторяться.

5. Сколько чисел можно составить из цифр 5, 4, 0, если:

д. Числа двузначные, цифры в записи числа не повторяются.

е. Числа двузначные, цифры в записи числа могут повторяться.

ж. Числа трехзначные, цифры в записи числа не повторяются.

з. Числа трехзначные, цифры в записи числа могут повторяться.

6. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из множества , а знаменателем – числа из множества .

7. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1, 3, 5, 7. Сколько среди них чисел, запись которых начинается с цифры 5? Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова произведения множеств.