Мотивація пізнавальної діяльності студентів.

Хід заняття

1. Організаційна частина.(метод - психолого – педагогічної підтримки роботи студентів на занятті) 2 хв.

Викладач з’ясовує присутність студентів на занятті, налаштовує їх на роботу, відповідає на питання студентів щодо домашнього завдання, встановлює психолого – педагогічний контакт з групою.

Викладач роз’яснює зміст роботи на занятті, розповідає про спосіб оцінки знань, умінь та навичок за допомогою рейтингової таблиці, в якій будуть відображені всі види роботи на занятті.

2. Перевірка домашнього завдання. (метод – навчальний тренажер)5 хв

1. Студенти- чергові перевіряють наявність домашніх завдань своїх колег, роблять відмітки в рейтинговій таблиці.

2. На екрані висвітлено вправи домашнього завдання з помилками. Студентам необхідно виявити їх та виправити, аргументуючи свої кроки.

3. Підготовка до заняття.(метод – навчальний інструктаж).

Оголошується тема, мета та завдання заняття.

Тема заняття: Найпростіші тригонометричні рівняння

3.2. План заняття.

3.2.1. Найпростіше тригонометричне рівняння cos t = a . Тренувальні вправи.

3.2.2. Найпростіше тригонометричне рівняння sin t = a. Тренувальні вправи.

3.2.3. Найпростіші тригонометричні рівняння tg t = a, ctg t = a.Тренувальні вправи.

3.2.4. Розв’язування різних типів найпростіших тригонометричних рівнянь.

Мотивація пізнавальної діяльності студентів.

1.(метод – проблемної бесіди).

Усім відомо, що квадратні рівняння можна розв'язувати за допомогою формули їх коренів, що значно спрощує роботу. Ми вже познайомились з різними типами квадратних рівнянь, які можна віднести до функціональних рівнянь (квадратні показникові, ірраціональні та квадратні логарифмічні рівняння). Як відомо вони розв’язуються за допомогою підстановки і зводяться до звичайного квадратного рівняння, для якого давно виведені формули коренів , але в процесі знаходження коренів необхідно через підстановку повернутись до старої змінної. Так спробуємо розв’язати також квадратне рівняння:

Проведемо заміну , тоді . Матимемо рівняння

, =3, тоді

y₁= ; y₂= .

Отже, при повернені до старої змінної маємо рівняння виду:

, . Таке рівняння ми розв’язувати поки не вміємо. Розв’язуванню рівняння такого виду і присвячується наше занняття

У математиці розглядають рівняння, у яких невідоме (змінна) входить тільки під знак тригонометричних функцій, наприклад:cos t = 1, cos t + sin t = 0. Ці рівняння називаються тригономет­ричними рівняннями. На наступних заняттях ми будемо вивчати різні типи тригонометричних рівнянь, що будуть зводитись до відомих алгебраїчних рівнянь. Але, як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння рано чи пізно зводиться до розв'язування най­простіших рівнянь: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a, яким присвячується наше заняття.

Отже, наше завдання — вивести формули для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь та навчитись розв’язувати різні типи найпростіших тригонометричних рівнянь.

3.4. Актуалізація опорних знань студентів.( фронтальна бесіда- бліц - опитування, математичний диктант, метод:контролю і взаємоконтролю самостійної роботи студентів)

1.Усне бліц- опитування .

· Яка функція називається оборотною?

· Необхідна умова оборотності функції.

· Достатня умова оборотності функції.

· Чи задовольняють умови оборотності тригонометричні функції для довільних значень змінної x ?

· Як ми вирішуємо цю проблему?

· Що називається арксинусом числа a?

· Що таке арккосинус числа a ? Чому дорівнює арккосинус від’ємного аргументу?

· Що таке арктангенс числа a ?

· Що таке арккотангенс числа a ? Чому дорівнює арккотангенс від’ємного аргументу?

2.Математичний диктант

Варіант -1Варіант -2

1) arcsin 1; 1) arccos ;

2) arcsin ; 2) arccos ;

3) arcsin 0; 3) arсcos (-l);

4) arccos ; 4) arccos ;

5) arcsin ; 5) arctg ;

6) arcctg 1; 6) arctg ;

7) arсtg 0; 7) arcctg ;

8) arcctg(- ); 8) arctg1

Очікувані відповіді:

В-1 1) 2) ; 3) 0; 4) ; 5) - ; 6) ; 7)0; 8) .

В-2 1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) - ; 6) ; 7) ; 8) .

Студенти в парах міняються виконаними завданнями та за наведеними відповідями перевіряють один одного виставляючи бали, що відповідають кількості вірних завдань.

4. Вивчення нового матеріалу.(методи – пояснювально – ілюстративний, навчальний тренажер, опора на життєвий досвід).

4.1. Найпростіше тригонометричне рівняння cosx = а.

1. Якщо |а| > 1, то рівняння cos x = а не має розв'язків, по-скільки |cos x| < 1 для будь-якого x.

2. Якщо |а| < 1, то враховуючи те, що cos x — абсциса точки Р_x одиничного кола, маємо: абсцису, рівну а, мають дві точки (рис. 122) одиничного кола(на осі ОХ відкладемо число а і через побудова­ну точку проведемо пряму, перпенди­кулярну до осі абсцис, яка перетне коло у двох точках і . Тоді

x₁ = arccos a + 2πп, п Z,

x₂ = - arccos а + 2πп, п Z.

Ці розв'язки можна об'єднати x = ± arccos a + 2πп, n Z

Окремі випадки

· Якщо а = 1, то, враховуючи те, що cos x — це абсциса точки Р_t одиничного кола, маємо: абсцису, рівну 1, має точка Р_t утворена із точки Р₀(1; 0) по­воротом на кути 2πп, п Z. Отже, x = 0 + 2πп = 2πп, п Z

· Якщо а = -1, то маємо x = π + 2πп, п Z.

· Якщо а = 0, то маємо x = + πп, п Z.

Корені рівнянь: cos x = 1, cos x = -1, cos x = 0 також можна одержати із фор­мули x= ± arccos a + 2πп, п Z. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння cos x = .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо:

х = ± arccos + 2πn, п Z.

Оскільки arccos = , то маємо: х = ± + 2πп, п є Z.

Очікувана відповідь: ± + 2πп, п Z.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння cos x = .

Розв'язання

Оскільки > 1, то рівняння коренів не має.

Очікувана відповідь: коренів немає.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння cos x = - .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = ±arccos + 2πп, п Z.

Оскільки arccos = π - arccos = π - = , то

x = ± + 2πn, n Z.

Очікувана відповідь:± + 2πn, n Z.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння cos x = 0.

Розв'язання

Дане рівняння задовольняє вигляд окремого випадку тригонометричного рівняння. Тому його розв’язком буде x= + πп, п Z.

Очікувана відповідь: + πп, п Z.

Коментоване виконання вправ під керівництвом викладача. (закріплення знань, формування вмінь і навичок, метод – навчальний тренажер)