Лементы математической статистики

В.Е. Гмурман. Глава 15, § 1-8; глава 16, § 1-4, § 8-10, § 14-16. Глава 19,

§ 1-7, § 23.

Рассмотрим характеристики случайных величин на основе опытных данных.

Определение: Генеральной совокупностью называется множество всех однородных объектов, подлежащих изучению.

Определение: Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Определение: Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.

Определение: Последовательность наблюденных значений случайного признака Х генеральной совокупности, расположенных в порядке возрастания, называется вариационным рядом:

х₁, х₂,……,х_n, (22)

а сами значения называются вариантами, то есть х_i – варианта, i=1,2,……,n.

Пусть n – объем выборки , Х – изучаемая случайная величина, которая в результате наблюдений значение х_i принимает т_i раз; т_i называется частотой варианты х_i , а отношение называ6тся относительной частотой варианты, прием .

Размах выборки R – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Естественной формой эмпирического закона распределения (этап обработки вариационного ряда) является статистический ряд – таблица частот, выборочный ряд – таблица относительных частот, полигон распределения, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Часто возникает задача нахождения подходящих приближенных значений (оценки) неизвестных параметров распределения количественного признака Х генеральной совокупности по данным выборки. Ниже рассмотрены определения статистических оценок параметров распределения: точечной и интервальной.

Определение: Точечной называют оценку неизвестного параметра распределения, которая определяется одним числом.

Выборочная средняя:

(23)

используется в качестве точечной оценки математического ожидания признака (случайной величины) Х генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия:

(24)

используется в качестве точечной оценки дисперсии признака Х генеральной совокупности.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

(25)

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

(26)

Выборочной модой М₀ распределения называют варианту выборки с наибольшей частотой.

Выборочной медианойm_е называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число вариант.

Определение: Интервальной называют оценку неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Определение: Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки неизвестного параметра – математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

φ_γ= (27),

где =δ – точность оценки, n – объем выборки, t – значение функции Лапласа ф(t) (таблица в приложении учебника), при котором ф(t)= , где γ – надежность. При неизвестном σ доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид:

(28),

где s исправленное среднее квадратическое отклонение, t_γ находится по таблице значений функции t_γ=t(n,γ) по заданным n и γ (Таблица в приложении учебника).

Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:

(S(1-q); S(1+q))(при q<1) (29)

(0 ; S(1+q))(при q>1) (30),

где q находится по таблице значений функции q=q(n, γ) по заданным n и γ. (Таблица в приложении учебника).

Задача 11. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

2,0 2,6 2,8 2,4 2,8 2,2 2,0 2,6

2,6 2,6 2,4 2,2 2,4 2,8 2,4 2,6

2,4 2,4 2,4 2,2 2,6 2,0 2,0 2,8

2,2 2,8 2,6 2,2 2,0 2,8 2,0 2,8

2,4 3,2 2,6 3,2 2,6 2,6 3,0 2,2

Признак Х имеет нормальное распределение.

Требуется: 1)Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения. Найти размах выборки. По полученному распределению выборки: 2) Построить полигон относительных частот; 3) Построить график эмпирической функции распределения; 4) Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану; 5) С надежностью γ=0,95 найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Решение: 1. Вариационный ряд состоит из различных чисел: 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 3,0; 3,2; 3,2.

Статистический ряд – таблица частот имеет вид:

	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2

Таблица 2

В первой строке таблицы числа вариационного ряда, а во второй – их частоты.

Выборочный ряд – таблица относительных частот имеет вид:

Таблица 3

xi	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2
wi	0,15	0,15	0,2	0,25	0,175	0,025	0,05

Размах выборки равен разности R=3,2–2,0=1,2

2. Полигон относительных частот – графическое изображение выборочного ряда распределения. По оси абсцисс откладываются значения вариант x_i, а по оси ординат значения соответствующих относительных частот w_i, точки (x_i, w_i) соединяются отрезками прямых, образующих ломаную (рис. 5).

0,25

0,2

0,175

0,15

0,05

0,025

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

Wi

x

0,95

0,925

0,755

0,5

0,15

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

F*(x)

x

0,3

Рис. 5. Полигон относительных частот Рис. 6. График эмпирич. функции

3. Эмпирическая функция распределения F*(x)= , где n_x – число вариант, меньших х, n – объем выборки. Объем выборки n=40. Наименьшая варианта равна 2,0 – следовательно при х≤2,0 F*(x)=0,так как значение Х <2,0 не наблюдалось. Следующее значение варианты 2,2 – следовательно при 2,0<х≤2,2 F*(x)=0,15, так как значение Х<2,2 наблюдалось 6 раз. Проводим и далее аналогичные рассуждения. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

0 при х≤2,0

0,15 при2,0< х≤2,2

0,3 при 2,2< х≤2,4

F*(x) = 0,5 при 2,4< х≤2,6

0,75 при 2,6< х≤2,8

0,925 при 2,8< х≤3,0

0,95 при 3,0< х≤3,2

1 при3,2< х

4. Используя формулы (23), (24), (25) определения моды и медианы находим: выборочную среднюю:

= =2,485;

выборочную дисперсию:

D_в=

;

исправленное среднее квадратическое отклонение:

;

моду: М₀=2,6; медиану: т_е (2,4; 2,6).

5.Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (31). Находим t=2,023 по таблице значений функции t_γ=t(γ,n) при γ=0,95, n=40.

=2,485, S=0,323, тогда у_γ=(2,485-2,023 ;2,485+2,023 );

у_γ=(2,382; 2,588).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид (29). Находим q=0,24<1по таблице значений функции q= q(γ, n) при γ=0,95, n=40. S=0,323, тогда γ=(0,323(1-0,24); 323(1+0,24)); γ=(0,245; 0,401).

Задача 12.Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, дан интервальный статистический ряд.

αi-βi	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50
n*i	7	8	15	18	23	19	14	10	6

Требуется: 1) построить полигон интервальных относительных частот; 2)

построить кумулятивную кривую; 3) построить гистограмму относительных частот; 4) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду и выборочную медиану; 5) проверить на уровне значимости α=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона; 6) в случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью γ=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака Х генеральной совокупности.

Решение: Объем выборки n= .

Составим таблицу 5, в которой α_i-β_i-i-й интервал, n - количество вариант, попадающих в i – й интервал, х – интервальная варианта – середина интервала, х ( i= 1,2, …,9), W (i = 1,2, …,9) – интервальная относительная частота, – накопленная интервальная относительная частота, u_i – условная варианта.

Таблица 5

i	αi-βi	x	n				ui	u	ui n	u
	5–10	7,5		0,06	0,06	0,012	–4		–28
	10–15	12,5		0,07	0,13	0,014	–3		–24
	15–20	17,5		0,12	0,25	0,024	–2		–30
	20–25	22,5		0,15	0,40	0,030	–1		–18
	25–30	27,5		0,19	0,59	0,038
	30–35	32,5		0,16	0,75	0,032
	35–40	37,5		0,12	0,87	0,024
	40–45	42,5		0,08	0,95	0,016
	45–50	47,5		0,05		0,010
Σ	–	–			–	–
Σ∕n	–	–	–	–	–	–			0,008	4,358

22,5

17,5

12,5

7,5

27,5

32,5

37,5

42,5

47,5

0,19

0,16

0,15

0,12

0,08

0,07

0,06

0,05

Wi*

x

1. Полигон интервальных относительных частот ломаная линия с ершинами в точках (х_i*,w_i i=1,2,…,9(рис. 7).

Рис. 7. Полигон интервальных относительных частот.

0,95

0,87

0,75

0,59

0,40

0,25

0,13

x

0,06

2. Кумулятивная кривая – ломаная линия с вершинами в точках (β_i, ), i=1,2,…,9, где β_i – правый конец i-го интервала группировки (рис. 8).

Рис. 8. Кумулятивная кривая

3. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями – интервалами ( i,β_i) и высотами равными (i=1,2,…,9) (рис. 9).

0,038

0,032

0,030

0,024

0,016

0,010

0,012

0,014

Wi*/h

x

Рис. 9. Гистограмма относительных частот

4. Найдем ,D_в, σ_в. Используем таблицу 5. Применим метод условных вариант для случая интервальной группировки. Условня варианта u_i= , , = , =4,358, =h +c=5·0,008+27,5=27,54, D_вu= - =4,358-(0,008)²=4,358; D_вх=h² D_вu=5²·4,358≈108,95,

σ_вx= .

В случае интервальной группировки формула для нахождения выборочной моды имеет вид:

М₀= +h .

Формула для нахождения медианы имеет вид:

т_е= +h .

5.Для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона составим расчетную таблицу 6, в которой

Z_i ; s= - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Р_i= ,для f(x)= имеется таблица значений.

Таблица 6

i	-βi			zi	f(zi)	рi	npi	- npi	( - npi)2	( - npi) npi
	5-10	7,5		1,8959	0,0656	0,0310	3,720	4,280	18,3184	4,924
	10-15	12,5		1,4228	0,1456	0,0688	8,256	6,744	45,481	5,509
	15-20	17,5		0,9498	0,2541	0,1202	14,424	0,576	0,332	0,023
	20-25	22,5		0,4768	0,3555	0,1682	20,184	2,184	4,769	0,236
	25-30	27,5		0,0037	0,3989	0,1887	22,644	0,356	0,127	0,006
	30-35	32,5		0,4692	0,3572	0,1689	20,268	1,268	0,608	0,079
	35-40	37,5		0,9422	0,2565	0,1213	14,556	-0,556	0,309	0,021
	40-45	42,5		1,4153	0,1456	0,0688	8,256	1,744	3,041	0,368
	45-50	47,5		1,8883	0,0669	0,0316	3,792	2,208	4,875	1,286
∑										12,452

Наблюдаемое значение статистики Пирсона χ²_набл.=12,5.

Определяем критическую точку статистики Пирсона по таблице значений χ ² при α=1-γ=1–95=0,05, к=т-3=9–6, χ ²_кр.= χ ²_0,05(6)=12,6.

Сравним χ ²_набл. и χ ²_кр.: χ ²_набл. < χ ²_кр..

И в соответствии с разрешающим правилом критерия Пирсона , гипотеза нормальности согласуется с данной выборкой.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид: n=120, =27,54, S=

По таблице значений функции t_γ=t(γ,n) при γ=0,95и n=120находим t_γ=1,98,доверительный интервал:

у_γ= , у_γ=(25,63; 29,45).

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения имеет вид:

(s(1-q); s(1+q)) (при q<1), s=10,57. По таблице значений функции q=q(γ,n) при γ=0,95и n=120.

Находим q=0,13<1.

у_γ= (10,57(1-0,13); 10,57(1+0,13)), у_γ=(9,20; 11,94).

Литература

Основная литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 2004. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 2004. – 400 с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. 543 с.

4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Инфра, 2007.

5. Сборник задач по математике для втузов: Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 2005.

6. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. - Екатеринбург, Изд-во УрГУ, 2004.

Дополнительная литература

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. - М.: Дело, 2001.

2. Шипачев В.М. Задачник по высшей математике. – М., Высшая школа, 2005.

3. Чебыкин Л.С. Высшая математика: Элементы теории вероятностей и математической статистики: Курс лекций /Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1981.

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению контрольной работы по дисциплине

«теория вероятностей и математическая статистика»

Подписано в печать _________. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. ___. Уч.-изд. л.____. Тираж ____ экз. Заказ № ____.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.