Аксиоматическая система Д.Гильберта.

Первое издание «Оснований геометрии» Д.Гильберта появилось в свет в 1899 году, а затем, представленная в нем система аксиом, подвергалась Д.Гильбертом уточнениям и некоторым изменениям без изменения ее характера в целом. Мы приведем здесь вариант аксиоматики, используя русское издание 1948 года, выполненное в переводе с немецкого издания 1930 года, т.е. используя окончательный вариант Гильбертовской системы аксиом.

Система аксиом Гильберта естественным образом распадается на пять групп: первая группа содержит восемь аксиом и называется группой аксиом принадлежности, вторая – группа аксиом порядка содержит четыре аксиомы, третья группа – группа аксиом конгруэнтности содержит пять аксиом, четвертая – содержит одну аксиому, которая называется аксиомой параллельности, пятая группа, состоящая из двух аксиом, называется группой аксиом непрерывности. Группы аксиом нумеруются римскими числовыми символами I, II, III, IV, V, а аксиомы в пределах каждой группы - арабскими цифрами от 1 до 8.Таким образом, каждая аксиома нумеруется двойным символом вида I2, II4, V1 и т.п.

Каждая аксиома представляет собой предложение, содержащее в себе утверждение о строго выделенных понятиях, определения которым не дается. Таких понятий в аксиомах используется шесть. Эти понятия получают специальные названия, допускающие при необходимости словесные вариации, – это : точка, прямая, плоскость, принадлежать, лежать между, конгруэнтный. Эти шесть понятий естественным образом разделяются на две группы, первая из них – это точка, прямая, плоскость, а вторая, соответственно, состоит из: «принадлежать», «лежать между» и «конгруэнтный». Такое деление происходит в следствии различной роли этих понятий в соответствующей геометрической системе. Первые три – основные, базовые геометрические фигуры, вторые выражают отношения между фигурами.

Аксиомы раскрывают содержание основных, неопределяемых понятий достаточное для формально логического построения теории. В этом смысле соответствующая совокупность аксиом может рассматриваться как особого вида определение соответствующего базового понятия.

Приводим полный список аксиом всех пяти групп.

Группа I.

I1. Для любых двух точек А, В существует прямая, принадлежащая каждой из этих двух точек А, В.

I2. Для двух точек А, В существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек А, В.

I3. На прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

I4. Для любых трех точек А, В, С не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость a, принадлежащая каждой из трех точек А, В, С. Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.

I5. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этим точкам.

I6. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости a, то всякая точка прямой а лежит в плоскости a.

I7. Если две плоскости a и b имеют общую точку A, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку В.

I8. Существуют, по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Группа II.

II1. Если точка В лежит между точками A и С, то А, В, С суть три различные точки прямой, и В лежит также между С и А.

II2. Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что точка С лежит между А и В.

II3. Среди любых 3 точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Определение: Система двух точек А и В называется отрезком. Такой отрезок обозначается АВ или ВА. Точки, лежащие между А и В, называются внутренними точками отрезка АВ, а точки А и В – концами этого отрезка.

II4. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, и а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Если при этом прямая а проходит через одну из внутренних точек отрезка АВ, то она должна пройти через одну из внутренних точек или отрезка АС или отрезка ВС.

Отметим, что аксиому II4 часто называют аксиомой Паша (нем. Математик 19-20 в.в, известный исследованиями в области оснований геометрии).

Группа III.

III1. Если А, В суть две точки на прямой а, и А´ – точка на той же прямой или на другой прямой а´, то всегда можно найти точку В´, лежащую по данную от точки А´ сторону прямой а´, и при том такую, что АВ конгруэнтен, иначе говоря, равен отрезку А´B´. Конгруэнтность отрезков АВ и А´B´ обозначается записью:

АВ º А´B´ (в нашей литературе вместо º пишут @).

III2. Если отрезок A´B´ и A´´B´´ конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то отрезок A¢B¢ конгруэнтен отрезку A´´B´´. Короче говоря, если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны друг другу.

III3. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а, не имеющие ни одной общей точки кроме точки В, и пусть, далее, A´B´ и B´С´ суть два отрезка той же прямой или другой прямой а´, так же не имеющие общей точки, кроме точки В´. Если при этом АВ º A´B´ и BC º B´C´, то и AC º A´C´.

Определение: Пара лучей h и kразличных, не принадлежащих одной прямой, и имеющих общее начало, называется углом. Угол, образованный h и k, обозначается Ð hk.

III4.Пусть даны Ð hk в плоскости a и прямаяа¢ в плоскости a, или в другой плоскости a¢. Пусть h¢ - луч, принадлежащий прямой а¢. Тогда в плоскости a¢ по заданную сторону от прямой а¢ существует и при том единственный луч k¢, начало которого совпадает с началом луча h¢, такой, что Ðhk конгруэнтен, то есть равен углу Ðh¢k¢. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Конгруэнтность углов обозначается также, как и конгруэнтность отрезков: Ðhk º Ðh¢k¢.

Определение: Если три точки А,В, С не принадлежат одной прямой, то совокупность трех отрезков АВ,ВС и СА называют треугольником АВС. Треугольник АВС обозначают : DАВС.

III5. Если для двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ имеют место конгруэнтности: АВºА¢В¢, АСºА¢С¢ и ÐВАСºÐВ¢А¢С¢, то имеет место так же и конгруэнтность ÐАВСºÐ А¢В¢ С¢.

Замечание: ÐАВС - угол образованный лучами ВА и ВС, у которых точка В общее начало.

Группа IV

IV. (аксиома Евклида). Пусть а – произвольная прямая и А – точка, лежащая вне ее. В таком случае в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямой а.

Так как такая прямая существует, что доказывается с опорой на то, что два различных перпендикуляра к одной прямой не пересекаются, то вводится понятие параллельности прямых: прямая а параллельна прямой b, если а и b лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Группа V

V1.(аксиома Архимеда ) Пусть АВ и CD – два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное число точек A1, A2, …, An таких, что отрезки AA1, A1A2, A2A3,…, An-1An конгруэнтны отрезку CD и точка В лежит между точками А и Аn.

V2.(аксиома линейной полноты) Точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы конгруэнтности, и аксиомы Архимеда, т.е. аксиом I1, I2, II, III1 и V1 не допускает никакого расширения, т.е. к системе точек, отвечающей перечисленным аксиомам, не возможно прибавить еще точки так, чтобы в получающейся системе точек выполнялись все перечисленные аксиомы.

Замечание:В более новых работах по основаниям геометрии аксиомы V1 и V2 заменяются одной какой-либо, например аксиомой Дедекинда (см. С.В. Бахвалов, В.П. Иваницкая «Основания геометрии», М.,1972 г.).

Достоинством аксиоматики Гильберта является то, что она расчленена настолько естественно, что логическая структура всей соответствующей геометрической системы в целом становится совершенно прозрачной. Это расчленение дает, во-первых, возможность сформулировать аксиомы максимально простым и кратким образом, а, во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если класть в ее основу не всю аксиоматику, а только те или иные группы аксиом. Такой логический анализ был проведен Гильбертом в ряде его интересных исследований, входящих в указанное нами выше издание его «Оснований геометрии». Особое место в гильбертовской системе занимают аксиомы пятой группы, аксиомы непрерывности.

Для следствий аксиом I - IV групп характерно отсутствие понятия о бесконечном множестве. По этой причине ничто не вынуждает нас прибегать к понятиям теории множеств. Развивая геометрию на основе аксиом, мы, опираясь на законы формальной логики, применяем их только к конечным конструкциям. Все рассуждения, благодаря этому, носят совершенно прозрачный характер, обладают большой наглядностью.

Принимая аксиомы группы V мы, напротив, вынуждены иметь ввиду бесконечное множество, что вносит определенную неясность принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию, а между тем вынуждены опираться на теорию множеств, которая сама нуждается в обосновании. Возникает необходимость в расширении круга исследования.

Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии явилось как раз то, что он обнаружил возможность развивать геометрию во всем основном, не пользуясь аксиомами непрерывности (кстати, такая геометрия носит название неархимедовой геометрии).

С точки зрения педагогической, именно евклидовско-гильбертовский путь построения учебного курса геометрии наиболее полно и естественно обеспечивает решение одной из главных задач общего образования – формирование формально-логического мышления учащихся, позволяет наиболее естественно развивать их наглядные представления и умения в их использовании, обеспечивает реализацию одного из важных общих принципов обучения, принципа историзма, отражения и использования исторического процесса формирования научных знаний.

Наши рекомендации