Доверительный интервал и доверительная вероятность

Рис. 1
Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , (2)

где Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru . Величина которой определяется по формуле

Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , (3)

где Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru - результат i-го измерения; Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru - среднее арифметическое полученных значений; n– число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , а случайная абсолютная погрешность Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , то результат измерений запишется в виде Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru .

Интервал значений от Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru до Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностьюизмерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.Это распределение вероятностей случайной величины Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru .

Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru . (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

n α n α
0,8 0,9 0,95 0,98 0,8 0,9 0,95 0,98
1,9 2,9 4,3 7,0 1,5 2,0 2,6 3,4
1,6 2,4 3,2 4,5 1,4 1,9 2,4 3,1
1,5 2,1 2,8 3,7 1,4 1,9 2,4 3,9

Пользуясь данными таблицы, можно:

1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru вычисляют по формуле

Доверительный интервал и доверительная вероятность - student2.ru . (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Наши рекомендации