Семейство распределений Стъюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из п случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов, В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

где k — число степеней свободы, зависящее от числа п усредняющих отсчетов: k = n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рис. 6.8. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

Рис. 6.8. Распределение Стьюдента при степенях свободы, равных 1

(распределение Коши), 5 и 100

Для нормированных распределений Стьюдента с k > 4 справедливы следующие соотношения:

Значения некоторых параметров для различных степеней свободы приведены в табл. 6.4.

Таблица 6.4

Значение точечных оценок распределения Стьюдента при различных

степенях свободы k

k	e	к	Энтропийный коэффициент k
	¥		1,900
		0,333	1,972
		0,408	2,005
		0,500	2,047
¥		0,577	2,066

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

• при n < 3 их СКО становится равным бесконечности, т.е. дисперсионная оценка ширины разброса не работает (перестает существовать);

• классический аппарат моментов для оценки формы и ширины распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается не работоспособным, и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. ch-им распределение Стьюдента резко отличается от других распределений.

Разновидностью распределения Стьюдента является распределение Коши. Оно важно тем, что ему подчиняется распределение отношения двух нормально распределенных центрированных случайных величин. Распределение Коши — это предельное распределение семейства законов Стьюдента с минимально возможным числом степеней свободы, равным k = 1 (рис. 6.8):

В общем виде (не нормированном и не центрированном) распределение Коши имеет вид

где А, Х_ц — параметры распределения.

Свойства распределения Коши резко отличаются от свойств экспоненциальных распределений, а именно:

• дисперсия и СКО не существуют, так как определяющий их интеграл расходится. Они будут бесконечно увеличиваться при росте числа экспериментальных данных. Оценка ширины распределения может быть произведена только на основе теории информации;

• оценка центра в виде среднего арифметического для распределения Коши неправомочна, так как ее рассеяние равно бесконечности;

• математическое ожидание не существует;

• для определения Х_ц необходимо использовать медиану;

• эксцесс равен бесконечности, а контрэксцесс равен нулю;

• энтропийное значение погрешности равно 2pА.

Двухмодальные распределения

К ним относятся дискретное двузначное, арксинусоидальное и двухмодальные остро- и кругловершинные распределения.

Дискретное двузначное распределение — это распределение, при котором с равными вероятностями встречаются только два значения случайной величины. В центрированном виде (рис. 6.9) оно описывается формулой

где d(х) — дельта-функция Дирака; ±А — возможные значения случайной величины.

При дискретном двузначном распределении СКО равно значению параметра А, e = 1, к = 1, k = 0.

Рис. 6.9. Дискретное двузначное распределение

Дискретное двузначное распределение может быть приближенно предcтавлено в виде суммы двух нормальных распределений с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку МО и при стремлении r нулю их СКО:

Арксинусоидальное распределение (рис. 6.10) описывается выражением:

где А — параметр распределения. Его СКО равно , e = 1,5, к = 0,816, k = 1,11.

Рис. 6.10. Арксинусоидальное распределение при А = 1

Остро- и кругловершинные двухмодальные распределения получаются как композиция дискретного двузначного и экспоненциального распределений с различными значениями коэффициента а (рис. 6.11). При a < 2 получаются островершинные, при a > 2 — кругловершинные распределения.

Рис. 6.11. Островершинные (а) и кругловершинные (б)

двухнедельные распределения

Основными параметрами таких распределений являются:

• показатель относительного содержания в композиции дискретной составляющей С_д= s_д /s_экс= А/s_экс, где s_д и s_экс — СКО дискретного и экспоненциального распределений. Как правило, С_д Î (0;2) .

Чем больше показатель С_д, тем больше провал. При С_д = 0 провал на графике распределения отсутствует;

• показатель степени a для экспоненциальных распределений, который обычно лежит в пределах от 0,5 до 2.

Островершинные распределения получаются при использовании некоторых высокоточных цифровых вольтметров, а кругловершинные распределения имеют погрешности от механического гистерезиса элементов приборов и датчиков.