Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод.

Простейшая нивелирная сеть состоит из трех одиночных ходов, сходящихся в одной узловой точке и опирающихся на исходные марки нивелирования высших классов.

Пусть от марок А, В, С с известными высотами проложены нивелирные ходы z1, z2 и z3, сходящиеся в узловой точке N. Ходы имеют измеренные превышения и длину соответственно h1,h2, h3 и L1, L2, L3. Определим наиболее надежное значение высоты узловой точки N.

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru веса можно вычислить как Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

(в числителе вместо единицы берут коэффициент, равный с, удобный для вычислений)

Из трех неравноточных значений вычисленных высот наиболее надежная величина определяется как среднее весовое по формуле Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

При вычислении по этой формуле ей удобно, выделяя приближенное значение Н0 искомой высоты, придать вид

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru получим поправки (или невязки с обратным знаком) нивелирных ходов, которые и распределим затем в каждом ходе по правилам одиночного нивелирного хода,

Найденные поправки контролируем равенством Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru или при наличии ошибок округлений Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru где β — предельная ошибка округления при вычислении поправок.

Оценку точности полевых измерений произведем, используя величины v. Среднюю квадратическую ошибку единицы веса находим по формуле

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru где п — число нивелирных ходов; k — число узловых точек.

Надежность ошибки единицы веса находим по выражению

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Средняя квадратическая ошибка превышения по ходу в 1 км определится по формуле

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Среднюю квадратическую ошибку уравненного наиболее надежного значения высоты узловой точки получим по формуле

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru где Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Средняя квадратическая ошибка самой ошибки уравненного значения высоты репера будет равна Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

14) Уравнивание нивелирной сети способом последовательных приближений. Оценка точности. Вывод.(на примере)

Рассмотрим нивелирную сеть, изображенную на рис. Соответственно параметрическому способу метода наименьших квадратов обозначим неизвестные высоты точек Е и F через к и у и для пяти ходов сети, направление которых показано стрелкой, составим пять параметрических уравнений поправок

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Наложив на величины v условие Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru согласно правилам указанного метода по числу неизвестных получим два нормальных уравнения, которые в свернутом виде запишутся так: Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Запишем уравнения почленно, учитывая, что в данном случае все коэффициенты при х и у в уравнениях поправок равны ± 1 :

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

в первом уравнении величины поправок v берутся только для тех ходов, которые

начинаются или оканчиваются в узловой точке Е, а во втором — которые начинаются или оканчиваются в точке F.

Перепишем первое уравнение в виде Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

В этом уравнении (-v3) — искомая поправка хода, идущего из точки F в точку Е. Тогда уравнения в свернутом виде можно записать так: Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

В данном случае х и у определены из весовой арифметической средины, так как

по теории ошибок алгебраическая сумма произведений поправок v , являющихся разностью между значением, полученным по формуле весового среднего, и каждым вычисленным, на соответствующие веса равна нулю при любом числе измерений.

Следовательно, можно написать

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Первое приближение высоты Н’е точки Е можно определить по первой формуле, полагая, что Н'f = 0, и не учитывая в знаменателе р3,

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Первое приближение высоты H'f точки F определим по второй формуле с учетом уже полученного значения Н'е

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

второе приближение

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

От второго приближения переходим к третьему, четвертому и т. д Вычисления продолжаются до тех пор, пока новое приближение не даст практически (впределах точности округлений) такие же результаты, как и предыдущие.

Первое приближение высот точек Е и F можно получить по другим формулам

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

для конечной цели это не имеет значения, однако число приближений

при этом увеличится.

На практике при применении этого способа используют формулу среднего весового, причем для сокращения вычислительной работы сумму весов в каждой группе ходов,

примыкающих к узловой точке, приравнивают единице. Для этого каждое из значений веса хода делят на сумму весов группы ходов. В общем случае формулу можно записать так:

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru тогда Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Оценку точности полевых измерений в способе последовательных приближений производят по тем же формулам, что и в способе эквивалентной замены. Оценка точности уравненных значений в этом способе затруднена. Веса уравненных высот узловых точек можно найти или способом эквивалентной замены, или способом приближений, предложенным доц. В. П. Козловым, по следующим общим формулам:

Уравнивание нивелирной сети с одной узловой точкой. Оценка точности. Вывод. - student2.ru

Наши рекомендации