Краткие теоретические сведения

Лабораторная работа № 4

По дисциплине: «Теория и практика технического эксперимента»

На тему: «Методы оценки случайных погрешностей в измерениях»

Специальность: электроснабжение промышленных предприятий

Выполнила: Оралкызы Г. Группа МЭППп-15

№ зачетной книжки: 154М009

Принял: Айткулов Н.С.

_________________ «____ » ____________ 2015 г.

Алматы 2015

Цель работы:Приобретение практических навыков по статистической обработке результатов измерений и определению минимального числа измерений.

Краткие теоретические сведения

Анализ случайных погрешностей при измерениях основывается на тео­рии случайных ошибок. Тео­рия случайных ошибок, дает возможность с опреде­ленной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки при ее вычислении.

Для большой выборки и нормального закона распределения оценочными характеристиками выполненных изме­рений являются среднее арифметическое выборки, стандартное отклонение и средняя ошибка выборки:

(1)

где

s – Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) выборки;

n – Количество выполненных замеров.

Ошибка выборки для выборочной относительной величины (доли) определяется по выражению:

(2)

В теории ошибок достаточно важными являются понятия доверительной вероятности и доверительного интервала.

Доверительной ве­роятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой ве­личины попадает в интервал, называемый доверительным интервалом.

Доверительный интервалопределяет точность измерения и называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборкиопределяется по формуле:

(3)

где

- гарантийный коэффициент или нормированное отклонение.

Значения t и соответствующие им доверительные вероятности приведены в справочной литературе. При числе опытов n > 30 их значения определяются по таблице Лапласа, а при n < 30 по таблице Стьюдента.

Зная предельную ошибку выборки , можно рассчитать интервал, в котором с доверительной вероятностью находится измеряемая величина А:

(4).

Если нам заранее задана предельная ошибка измерения, то по ней можно определить доверительную вероятность попадания измеряемой величины в интервал, определяемой этой ошибкой.

Пусть, напри­мер, задана предельная ошибка то для нахождения доверительного интервала по формуле (3) находят вначале нормированное отклонение . Для найденного значения t по таблице Лапласа определяют искомую доверительную вероятность .

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор будет уверен в положительном исходе. В связи с этим одной из первоочередных задач при статических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерений для данных условий. Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) , при заданных значениях предельной ошибки выборки и заданной доверительной вероятности.

Минимальный объем выборки, определяемой гарантийным коэффициентом t, который обеспечит требуемую точность результатов измерения , определяется по формуле:

(5)

В исследованиях часто используется и такая форма записи

(6)

где

- коэффициент вариации, в %; (7)

-относительная погрешность измерительного прибора, в %.

Задания к работе

Необходимо выполнить 2 задания.

Данные к заданиям учащиеся получают с помощью программы «Исходные данные к работе 4», в которой вариант задания и исходные данные задаются с помощью генератора случайных чисел. Полученные данные заверяются подписью преподавателя, и листок с заверенными данными вкладывается (вклеивается) в отчет по работе.

Задание 1

Дано:

§ Произведено n замеров силы тока в фидере;

§ Среднее значение силы тока равно , А;

§ Вычисленное значение стандартного отклонения составило s, A; Заданная предельная ошибка измерения , А.

§ Относительная погрешность прибора , %.

Требуется:

1. Определить с какой доверительной вероятностью (достоверностью) будут оцениваться результаты измерения при заданной предельной ошибки измерения .

2. Определить минимальное количество измерений, которое необходимо выполнить в данном эксперименте с доверительной надежностью = 0,95 при использовании прибора с относительной погрешностью .

3. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью = 0,95 попадает значение измеряемой силы тока.

Исходные данные

§ Произведено n= 24 замеров силы тока в фидере;

§ Среднее значение силы тока равно =22 А;

§ Вычисленное значение стандартного отклонения составило s=2 A;

§ Заданная предельная ошибка измерения =4 А.

§ Относительная погрешность прибора =4 %.

1. Определить с какой доверительной вероятностью (достоверностью) будут оцениваться результаты измерения при заданной предельной ошибки измерения .

Решение

По формуле (1) вычисляем среднюю ошибку выборки

По формуле (3) для предельной ошибки выборки находим нормированный коэффициент

По таблице Лапласа находим, что для t=9,79 доверительная вероятность будет равна р_д=0,99.

Следовательно, для заданной ошибки измерения в данный диапазон из ста замеров будет попадать только 99.

2. Определить минимальное количество измерений, которое необходимо выполнить в данном эксперименте с доверительной надежностью = 0,95 при использовании прибора с относительной погрешностью .

Решение

Для расчета воспользуемся формулой (6)

Неизвестное значение коэффициента вариации вычисляем по формуле (7)

3. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью = 0,95 попадает значение измеряемой силы тока.

Решение

Для расчета воспользуемся формулой (3)

Следовательно, минимальное значение тока доверительного интервала будет равно , а максимальное- .

Рисунок 1 – Результаты задания 1

Задание 2

Дано:

На ТООс электролампового завода поступило партия из n электроламп.

Для проверки качества изделий было проведено испытание 100 ламп.

Средняя продолжительность их горения составило часов со средним квадратичным отклонением S часов.

Количество электроламп горевших менее установленного лимита составило n1 штук.

Требуется:

1. Оценить качество электроламп во всей партии с доверительной вероятностью = 0,95;

2. Определить с доверительной вероятностью = 0.95 долю ламп, срок службы которых будет меньше установленного лимита.

Исходные данные:На электроламповом заводе взято для проверки 2303 ламп. Средняя продолжительность их горения оказалась 1500 ч со средним квадратическим отклонением 52,4 ч. Количество электроламп горевших менее установленного лимита - 3 штук.

1. Оценить качество электроламп всей партии с доверительной вероятностью р = 0,95.

Решение

Средняя возможная ошибка выборки:

С вероятностью 0,95 предел возможной ошибки:

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя про­должительность горения одной электролампы во всей партии будет находиться в пределах от 1497,8 до 1502,18 ч;

Следовательно, у 2187 электро­ламп из 2303 про­должительность горения электролампы может находиться в пределах от 1497,8 до 1502,18 ч., а 116 электро­ламп из 2187 могут иметь срок горения, выходящий за эти пределы. Однако нас интересуют отклонения от вычис­ленных пределов только в сторону ухудшения качества продукции, т.е. сокращения продолжи­тельности горения. Меньше 1497,8 ч могут гореть 58 ламп из 2303.

На основе этого делаем вывод, что с вероятностью р = 0,95 во всей партии можно ожидать, что меньше 1497,8 ч могут гореть 2878 ламп.

2. Определить с доверительной вероятностью = 0.95 долю ламп, срок службы которых будет меньше установленного лимита.

Решение

В соответствии с условием доля некачественных ламп составила р = 0.04 или 4%.

Средняя воз­можная ошибка для выборочной относительной величины (доли) определяется по формуле (2):

или ± 1,9%.

С вероятностью 0,95 предел ошибки доли

, или ±3,9%.

Следовательно, во всей партии с вероятностью р = 0,95 можно ожидать долю электроламп, срок горения которых меньше установленного лимита от 6 до 10%.

Рисунок 2 – Результаты задания 2