Молекулярная физика и термодинамика

Статистический и термодинамический методы исследования. Тепловое движение.

Макроскопические параметры.

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Средняя квадратичная скорость. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Число степеней свободы. Закон Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Средняя кинетическая энергия молекулы.

Распределение молекул по скоростям. График распределения Максвелла. Наиболее вероятная скорость.

Барометрическая формула.

Идеальный газ в поле силы тяжести. Изменение концентрации частиц с высотой. Распределение Больцмана.

Столкновение между молекулами. Средняя длина свободного пробега молекул.

Явления переноса в газах

Внутренняя энергия идеального газа.

Теплоемкость идеального газа. Уравнение Майера.

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам.

Работа, совершаемая газом в изопроцессах.

Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Круговые процессы. Тепловой двигатель. Цикл Карно. КПД.

Обратимые и необратимые процессы. Энтропия и ее статистический смысл.

Второе начало термодинамики.

Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса.

Электростатика и постоянный ток

Элементарный заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.

Электрическое поле. Напряженность поля. Силовые линии поля. Принцип суперпозиций полей.

Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса.

Вычисление напряженности поля бесконечной однородно заряженной плоскости, двух разноименно заряженных плоскостей.

Вычисление напряженности поля бесконечного равномерно заряженного по поверхности цилиндра.

Вычисление напряженности поля равномерно заряженного по объему шара.

Работа сил электрического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряженности.

Потенциал электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.

Электрическое поле в веществе. Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлeктpикoв.

Вектор поляризации. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость.

Вектор электрического смещения.

Теорема Остроградского–Гаусса для электрического поля в веществе. Расчет напряженности электрического поля в диэлектриках.

Электроемкость проводников. Конденсаторы. Соединение конденсаторов.

Энергия системы неподвижных точечных зарядов.

Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Электрический ток. Сила тока. Плотность тока. Закон Ома для однородного участка цепи.

Электродвижущая сила (ЭДС). Закон Ома для полной цепи. Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС.

Закон Ома в дифференциальной форме.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2003.

2. Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Академия, 2003.

3. Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. - М.: Высшая школа, 2003.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: ООО изд. АСТ, 2004. Т. 1-5.

Дополнительная

5. Бондарев Б.В., Калашников Н.П., Спирин Г.Г. Курс общей физики. - М.: Высшая школа, 2003. Т. 1-3.

6. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. - М.: Высшая школа, 2003.

7. Физические величины. Справочник под ред.И.С. Григорьева, Е.З.Мейлихова. -

М.: Энергоатомиздат, 1991.

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Основные формулы

• Положение материальной точки в пространстве характеризуется координатами x, y, zлибо радиус-вектором Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , проведенным из начала отсчета в материальную точку.

• Кинематический закон поступательного движения материальной точки (центра масс твердого тела) в пространстве: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - некоторая векторная функция времени.

• Мгновенная скорость: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Мгновенное ускорение: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Перемещение: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru -разность двух радиус- векторов, соответствующих двум положениям материальной точки.

• Закон поступательного движения вдоль оси x: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Скорость по оси х (проекция Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru на ось х): Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Ускорение по оси х (проекция Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru на ось х): Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Перемещение по оси х (проекция Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru на ось х): Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Для равнопеременного движения:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - координата и скорость в момент времени Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Путь S- длина траектории, всегда S≥ 0

• Средняя путевая скорость Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где S–путь, пройденный за время t.

• Средняя скорость перемещения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - перемещение за время Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Кинематический закон вращательного движения материальной точки по окружности постоянного радиуса R: φ = f(t), здесь φ - угол поворота радиус-вектора постоянной длины Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , φ - скалярная величина. Изменение угла dφ - векторная величина, направление которой определяется по правилу правого винта (буравчика) и направлена вдоль оси вращения.

• Угловая скорость: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Угловое ускорение: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Для равномерного вращательного движения ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где T – период обращения, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - частота.

• Для равнопеременного вращательного движения ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где φ0и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - координата и угловая скорость в момент времени t=0.

• Связь между угловыми и линейными, характеризующими движение точки по окружности:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - тангенциальное и нормальное ускорения, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru направлено по радиусу окружности к центру вращения, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - по касательной к траектории.

• Полное ускорение: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru :

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Второй закон Ньютона: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ruили Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - cила или равнодействующая сил, действующих на тело.

• Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где k– коэффициент упругости, х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести: F = mg,,где g= 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли;

в) сила гравитационного взаимодействия: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где

G=6,67·10-11м3/(кг·с2) – гравитационная постоянная, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - массы взаимодействующих тел, r –расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки) или между центрами симметрии (для центрально-симметричных тел с равномерно распределенной массой);

г) сила трения скольжения: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - коэффициент трения (величина постоянная для двух данных трущихся поверхностей) , N –сила нормального давления. Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Момент силы Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru относительно неподвижной точки:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - радиус-вектор проведенный из неподвижной точки в точку приложения силы. В скалярном виде М=Fl, где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - расстояние от неподвижной точки до линии действия силы (плечо силы), Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол между векторами Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Положение центра масс (центра инерции) системы тел находится по формуле:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где mi –масса i– го тела системы, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - радиус-вектор этого тела относительно выбранной системы отсчета или в скалярном виде:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Момент силы Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru относительно неподвижной оси вращения:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - составляющая силы Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В скалярном виде Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - расстояние от неподвижной точки до линии действия силы (плечо силы), Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол между векторами Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Момент силы относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения и направление его определяется по правилу правого винта.

• Момент инерции материальной точки относительно неподвижной точки О:

I = mr2 ,

где m– масса материальной точки, r –расстояние от материальной точки до точки О.

• Момент инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где ri -расстояние от i –ой материальной точки массой miдо оси.

• Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где V –объем тела, r –расстояние от оси вращения до элемента тела с объемом dV, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru -плотностьтела.

• Моменты инерции некоторых простых тел mотносительно оси проходящей через центр масс и совпадающей с осью симметрии тела:

а) однородного стержня длиной lотносительно оси перпендикулярной стержню:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

б) кольца (тонкостенного цилиндра) радиуса R : Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

в) сплошного однородного цилиндра (диска) радиуса R : Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

г) однородного шара радиуса R: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси zопределяется по теореме Штейнера:

Iz = I0 + ma2 ,

где I0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной выбранной, а – расстояние между осями.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - результирующий момент сил, действующих на тело, I – момент инерции этого тела относительно выбранной оси, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угловое ускорение.

• Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - радиус-вектор проведенный из неподвижной точки в точку в которой находится в данный момент времени материальная точка имеющая импульс Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

В скалярном виде L=pl,где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - расстояние от неподвижной точки до прямой линии, проходящей через вектор Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (плечо), Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол между векторами Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Момент импульса относительно неподвижной оси:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - составляющая импульса Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В скалярном виде Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - расстояние от неподвижной точки до прямой проходящей через вектор Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (плечо), Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол между векторами Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Момент импульса относительно неподвижной оси направлен вдоль оси вращения и направление его определяется по правилу правого винта.

• Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где I –момент инерции тела относительно выбранной оси, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угловая скорость тела.

• Работа силы Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru при поступательном движении:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - перемещение за время dt, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол между силой и перемещением.

• Работа момента силы при повороте тела:

dA = Mdφ,

где dφ Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - угол поворота.

• Мощность (работа, производимая в единицу времени):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Кинетическая энергия:

а) поступательного движения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

б) вращательного движения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где k –коэффициент жесткости пружины, х –абсолютная деформация;

б) тела в однородном поле сил тяжести: Wп= mgh,

где h -высота над уровнем принятым за нулевой(формула справедлива при h<<RЗ , где RЗ – радиус Земли);

в) гравитационного взаимодействия: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Законы сохранения в механике:

а) импульса: суммарный импульс замкнутой (изолированной) системы есть величина постоянная:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

б) момента импульса: суммарный момент импульса замкнутой (изолированной) системы есть величина постоянная:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

в) механической энергии: полная механическая энергия консервативной системы (системы в которой действуют только консервативные силы) есть величина постоянная:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

• Работа А,совершаемая внешними силами и силами трения, равна изменению полной энергии системы тел:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

• Период колебаний математического маятника:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где L- длина маятника, g- ускорение свободного падения.

• Период колебаний физического маятника:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где I - момент инерции физического маятника относительно точки подвеса, I0 –момент инерции физического маятника относительно оси проходящей через центр масс маятника, d- расстояние от точки подвеса до центра масс физического маятника, g - ускорение свободного падения, m– масса физического маятника, Lпр - приведенная длина физического маятника (расстояние от точки подвеса до центра качания).

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 0,1 м согласно уравнению φ Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где А = 54 рад/c, В = -2 рад/c3. Через какое время после начала вращения скорость точки будет равна нулю? Найти полное ускорение точки в этот момент времени.

Решение. В условии задачи кинематический закон вращательного движения материальной точки, из которого можно определить зависимость угловой скорости ω и углового ускоренияεот времени:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью зависимостью Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

По условию v= 0, поэтому Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , или

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

откуда находим время Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Нормальное ускорение Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , тангенциальное уравнение Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , полное ускорение Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Подставим числовые данные и произведем вычисления:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 3 с, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 6·(-2)·3·0,1 = - 3,6 м/с2 , а= | Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru | = 3,6 м/с2 .

Выведем размерности полученных величин

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Задача 2. Раскрученный до частоты Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 5 Гц сплошной цилиндр массой m= 10 кг и радиусом R= 0,5 м кладут в угол комнаты, при этом он вращается на месте. Коэффициент трения между цилиндром и полом Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 0,02. Трением между цилиндром и стеной пренебречь. Найти ускорение цилиндра, число оборотов до его полной остановки и работу против сил трения.

Решение. На рисунке изображен цилиндр и силы, действующие на него: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - сила тяжести, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - силы нормального давления со стороны пола и стены соответственно, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - сила трения, О –ось вращения цилиндра.

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Центр масс тела покоится, поэтому можно записать уравнения движения по горизонтальной и вертикальной оси: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Кроме того Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Решая систему уравнений, получим, что сила трения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Теперь запишем для цилиндра основное уравнение динамики вращательного движения относительно оси вращения цилиндра: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - момент инерции цилиндра, откуда получаем: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Для нахождения числа оборотов необходимо определить полный угол поворота цилиндра вокруг своей оси до полной остановки. Для этого запишем кинематические соотношения для угла поворота угловой скорости для нашего случая:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Знак минус соответствует равнозамедленному движению. Здесь Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - начальная угловая скорость. Время до остановки Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Число оборотов цилиндра:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Теперь найдем работу против сил трения. Работа против сил трения это произведение силы трения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru на путь Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , cos α = -1, поэтому работа сил трения Аотрицательна:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Это же выражение для работы можно получить из других соображений, а именно из закона изменения и сохранения энергии – работа сил трения равна изменению кинетической энергии (в нашем случае изменению кинетической энергии вращательного движения):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Производим вычисления

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ;

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru оборотов;

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Выведем размерности полученных величин

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Задача 3. Фигурист, раскинув руки, выполняет вращение на льду с частотой Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 1 Гц, Какова будет частота вращения фигуриста, если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции с I1 = 1,2 кг∙м2 до I2= 0,8 кг·м2? Какую работу должен совершить фигурист для этого?

Решение. Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Согласно закону сохранения момента импульса в замкнутой системе суммарный момент импульса остается постоянным, т.е. Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru или Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Отсюда находим конечную частоту вращения фигуриста: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Работа, которую нужно совершить фигуристу, равна изменению кинетической энергии:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Производим вычисления

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Выведем размерности полученных величин

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Задача 4. Рассчитайте ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли и первую космическую скорость . Радиус Земли принять равным RЗ = 6370 км, масса Земли МЗ=5,96·1024 кг.

Решение. Согласно закону всемирного тяготения на тело массы m ,находящееся наповерхности Земли, действует сила гравитационного притяжения(сила тяготения): Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где G = 6,67·10-11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная. Запишем II закон Ньютона для этого тела: F=mgили Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , g – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Первая космическая скорость это скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно вращалось вокруг Земли по круговой орбите радиуса Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Тогда

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , откуда Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Производим вычисления

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Выведем размерности полученных величин

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Задача 5.Однородный сплошной цилиндр массой m2 = 4 кг может вращаться без трения вокруг оси. За эту ось, нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг, он привязан к бруску массой m1 = 1 кг. Определить ускорение цилиндра вдоль наклонной плоскости и силу трения, действующую на него, при качении без проскальзывания. Блок вращается без трения. Угол наклона плоскостей к горизонту β =300. Коэффициент трения бруска о плоскость µ = 0,1.

 
  Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Решение. На цилиндр действуют: сила тяжести Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , сила натяжения нити Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , сила реакции опоры Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и сила трения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Поскольку цилиндр катится без проскальзывания, то Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - это сила трения покоя. Величина этой силы заранее неизвестна и находится в процессе решения (0 Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - коэффициент трения). Силы, действующие на брусок, имеют тот же смысл и обозначены теми же буквами с индексом 1.

На блок действуют две силы натяжения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ). Между собой они неравны ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ), так как в противном случае, результирующий вращающий момент, действующий на блок, равнялся бы нулю, и блок не вращался бы с ускорением.

Чтобы решить задачу, для цилиндра запишем второй закон Ньютона и уравнение динамики вращательного движения, для блока - уравнение динамики вращательного движения, а для бруска - второй закон Ньютона. Кроме того, будем использовать следующую связь между линейным ускорением центра масс цилиндра Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и его угловым ускорением Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , которая справедлива при качении без проскальзывания:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , (1)

где Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - радиус цилиндра (в силу нерастяжимости нити, ускорения центров масс цилиндра и бруска одинаковы, то есть Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ). Если нить не проскальзывает относительно блока, то формула (1) также связывает его угловое ускорение Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru с линейным ускорением центров масс бруска и цилиндра Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (В этом случае, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru в ней нужно заменить на радиус блока Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ).

Рассмотрим качение цилиндра. Второй закон Ньютона для него имеет следующий вид:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (2)

Спроектировав (2) на ось Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , получим с учетом условия Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , что . Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (3)

При записи уравнения динамики вращательного движения цилиндра относительно его оси симметрии, учтем, что моменты сил тяжести, реакции опоры и натяжения нити равны нулю (их плечи равны нулю). В результате, уравнение динамики вращательного движения примет следующий вид:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (4)

Здесь Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - радиус цилиндра,

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (5)

- его момент инерции, а Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - момент силы трения относительно оси симметрии цилиндра. Подставим в (4) соотношения (5) и выражение для углового ускорения цилиндра Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , которое следует из (1):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

В результате, после сокращения на Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , получим:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (6)

Если рассматривать качение изолированного цилиндра, то уравнений (3) и (6) достаточно для решения задачи, так как тогда, из-за отсутствия нити, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , а два уравнения позволяют определить две неизвестные величины Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . В данном случае, сила Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru неизвестна, и приходится рассматривать скольжение бруска и вращение блока.

Рассмотрим скольжение бруска. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , (7)

а затем, спроектируем его на ось Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru :

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (8)

Здесь, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - сила трения скольжения. Поэтому ее можно рассчитать по формуле Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Для нахождения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , спроектируем (7) на осьy1:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

Отсюда, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . Подставив данное выражение для силы трения в (8), получим

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (9)

Если бы масса блока равнялась нулю, то сила натяжения была бы одинаковой в пределах всей нити ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ). Тогда, трех уравнений (3), (6), (9) было бы достаточно для нахождения трех неизвестных Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . В данном случае, неизвестных четыре ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ), и приходится использовать еще уравнение динамики вращательного движения блока:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ).

Здесь момент силы натяжения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ускоряющий и, поэтому, положительный ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ), момент силы Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - тормозящий и, поэтому, отрицательный ( Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ), а угловое ускорение блока Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru выражено через Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru с помощью формулы (1).

В результате, сократив на r и заменив Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru на Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru и Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , получим: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru . (10)

Теперь все сводится к решению системы уравнений (3), (6), (9), (10). Сложим эти уравнения почленно:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Приведя подобные члены и проведя сокращение, получим:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru 1,88(м/с2)

Сила трения Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru находится из уравнения (6): Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru (Н) .

В заключение напомним, что, если масса блока равна нулю, то сила натяжения одинакова на всем протяжении нити, и, поэтому, нет необходимости использовать уравнение динамики вращательного движения блока.

Выведем размерности полученных величин:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Задача 6. Определить период колебаний физического маятника, образованного однородными стержнем массой m и длиной L и шаром массой m и диаметром L/2, если колебания происходят в вертикальной плоскости относительно оси , проходящей через свободный конец стержня (т. О).

Решение. Период колебаний физического маятника:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где IО – момент инерции физического маятника относительно точки подвеса; М – масса физического маятника; d – расстояние от центра масс маятника, как системы тел, до точки подвеса.

1) Найдем момент инерции маятника как сумму моментов инерции тел из которых состоит этот маятник, т.е. стержня и шара: I0 = I1 + I2

Пользуясь теоремой Штейнера, находим момент инерции стержня I1и шара I2:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Тогда суммарный момент инерции маятника будет равен:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

2) M = m + m = 2m –масса маятника.

3) Находим положение центра масс маятника, считая, что начало координат находится в точке подвеса, а ось х направлена вдоль стержня, тогда:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Подставляем I0, Mи dв выражение для периода колебаний физического маятника и получаем окончательно:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Основные формулы

• Основное уравнение кинетической теории газов

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где р -давление газа, n –концентрация молекул (число молекул в единице объема), Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, угловые скобки обозначают осреднение по

большому ансамблю частиц, m0 –масса молекулы, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - средняя квадратичная скорость движения молекул.

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

гдеk = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

• Энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия идеального газа):

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где i – число степеней свободы молекулы, m – масса газа, М– молярная масса данного вещества, R = 8,31 Дж/(кг·К)– универсальная газовая постоянная, Т– абсолютная температура.

• Числом степеней свободы называется число независимых координат полностью определяющих положение тела в пространстве. Любая молекула имеет 3 поступательных степени свободы (iпост=3).Молекулы, кроме одноатомных, имеют еще вращательные степени свободы (у двухатомных молекул iвр = 2, у многоатомных iвр = 3) и колебательные степени свободы, которые при невысоких (комнатных) температурах не учитываются.

• В соответствии с законом Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы,в среднем на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия, равная Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru .

• Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Средняя суммарная кинетическая энергия одной молекулы:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где i – число степеней свободы молекулы (i=iпост+ iвр).

• Средняя квадратичная скорость молекулы:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

• Средняя арифметическая скорость (средняя скорость теплового движения)молекулы:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где m0 – масса одной молекулы, М – молярная масса вещества, причем Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

NA= 6,023·1023 1/моль– число Авогадро.

• Барометрическая формула характеризует изменение давления газа с высотой в поле сил тяжести: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru или Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где p –давление на высоте hнад уровнем моря, p0 – давление на высоте h =0, g –ускорение свободного падения. Эта формула приближенная, так как температуру нельзя считать постоянной для большой разности высот.

• Распределение Больцмана для концентрации частиц в силовом поле имеет вид:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где n – концентрация частиц, обладающих потенциальной энергией Wп , n0 - концентрация частиц в точках поля с Wп =0.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти среднюю кинетическую энергию Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также среднюю кинетическую энергию Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru вращательного движения всех молекул кислорода массой m= 4 г.

Решение. Согласно закону Больцмана о равном распределении энергии по степеням свободы на каждую степень свободы приходится энергия равная Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где k – постоянная Больцмана, Т –абсолютная температура.

Так как молекула кислорода двухатомная, у нее две вращательных степени свободы, поэтому средняя кинетическая энергия вращательного движения выразится формулой:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Подставим в полученную формулу значения k = 1,38·10-23 Дж/К, и Т = 350 К, получим

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Кинетическая энергия всех N молекул, содержащихся в 4 г кислорода равна:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , где NA –число Авогадро, Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru - количество вещества, m – масса газа, М –молярная масса. Учтя приведенные выражения, получим:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Подставляем числовые значения: NA = 6,023·1023 1/моль ; m = 4 г = 4·10-3 кг ; М = 32·10-3 кг/моль; Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru = 4,83·10-21 Дж:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru Выведем размерность полученной величины:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Задача 2. В воздухе при нормальных условиях взвешены одинаковые частицы. Известно, что концентрация частиц уменьшается в два раза на высоте h = 20 м. Определить массу частицы.

Решение. Воспользуемся формулой распределения Больцмана:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru ,

где Wп = m0gh –потенциальная энергия частицы в поле сил тяжести.

Подставив это выражение в формулу распределения Больцмана, получим:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Логарифмируем обе части уравнения по основанию е, тогда: Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru , откуда Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Подставив числовые значения в полученную формулу, найдем

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

Выведем размерность полученной величины:

Молекулярная физика и термодинамика - student2.ru

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № I

№ вар. Н О М Е Р А З А Д А Ч

100. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой j = A + Bt + Ct2 , где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с2. Найти полное ускорение a точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

101. Колесо вращается с постоянным ускорением e= 2 рад/с2. Через t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно а = 13,6 см/с2. Найти радиус колеса.

102. Две материальные точки движутся по прямой линии согласно уравнениям x1 = A1t + B1t2 + C1t3 и x2 = A2t +B2t2 + C2t3, где А1 = 4 м/с, В1 = 8 м/с2, С1 = - 16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 = - 4 м/с2, С2 = 1 м/с3. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорость точек в этот момент.

103. Диск радиусом R = 0,2м вращается согласно уравнению j = A – Bt + Ct3, где А = 3 рад, В = 1 рад/с, С = 0,1 рад/с3. Определить тангенциальное аt, нормальное аn и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

104. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 10 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с2, вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол равный 600. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

105. Две материальные точки в момент t = 0 начинают двигаться по прямой линии согласно уравнениям x1 = A1 + А2t + А3t4 , x2 = В1 +B2t2 + В3t4, где А1 = 50 м, А2 = 2 м/с, А3 = - 3 м/с4 , В1 = 42 м, В2 = 10 м/с, В3 = - 3 м/с4. Найти скорости и ускорения этих точек в момент их встречи.

106. Материальная точка двигается вдоль прямой линии согласно уравнению x = At + Bt3, где А = 3 м/с, В = - 0,04 м/с3 . Найти путь, пройденный телом от момента времени t1 = 2 c до момента времени t2 = 6 c.

107. Тело движется по окружности радиусом R = 4 м. Зависимость пути от времени дается уравнением S = Ct3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное an и тангенциальное aτ ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0,3м/с.

108. Точка движения по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S = А - Вt2 , где А = 8 м; В = 2 м/с2. Найти момент времени t , в который нормальное ускорение точки аn = 9 м/с2 , а также скорость v, тангенциальное aτ и полное a ускорения точки в этот момент времени. S –координата, отсчитываемая вдоль окружности.

109. Материальная точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = A + Bt + Ct2 , где А = 2 м, В = -2 м/с и С = 1 м/с2. Найти линейную скорость точки v, ее тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения через t = 3с после начала движения, если известно, что нормальное ускорение точки при t1 = 2 с равно аn1 = 0,5 м/с2.

110. Тонкостенный цилиндр с диаметром основания D = 40

Наши рекомендации