Логарифмічні частотні характеристики

Дослідження частотних властивостей САК значно спрощується, якщо використати частотні характеристики, побудовані в логарифмічному масштабі. Такі характеристики називаються логарифмічними частотними характеристиками (ЛЧХ).

З'ясуємо, що вони собою представляють. Для цього прологарифмуємо W( jw), виражену в показовій формі:

lgW( jw) = lg A(w)+ jj(w) lge .

В отриманому виразі величина lgA(w) характеризує зміну системою амплітуд гармонійних коливань. За одиницю виміру цієї зміни прийнята величина 1 Бел, рівна посиленню сигналу за потужністю в 10 разів. Оскільки потужність гармонійного сигналу пропорційна квадрату його амплітуди, то при використанні цієї одиниці для виміру відношення амплітуд перед логарифмом lgA(w) необхідно додати множник 2. Наприклад, якщо на деякій

частоті A ( w) = 100, то це означає, що потужності вхідного і вихідного сигналів відрізняються в 100² раз, тобто на 2lg100 = 4 Бел . У ТАУ використовують одиницю в 10 раз менше - 1 дБел. Тоді перед логарифмом
lg A ( w) необхідно додавати коефіцієнт 20, тобто 20lgA(w).

Графік залежності L(w) = 20lgA(w), побудований у логарифмічному масштабі частот, називається логарифмічною амплітудною частотною характеристикою (ЛАЧХ).

За одиницю виміру по осі частот приймають декаду - інтервал, на якому частота збільшується в 10 раз. Застосовується також розподіл осі w на октави - 1 октава відповідає подвоєнню частоти.
Тоді 1 окт = lg(2w ₁ w ₁) = lg 2 = 0,301 дек .

Відзначимо, що для зручності користування логарифмічним масштабом на оцінці, що відповідає значенню lgw, звичайно пишуть саме значення w.

Логарифмування осі частот дозволяє стиснути зображення в області
частот w>1c-¹ і розтягти його в області w < 1 c^-1. При цьому точці w = 0 c-¹ відповідає значення lg w = 0 c-¹. Тому при побудові ЛЧХ вісь ординат проводять через деяку довільну точку, а не через точку w = 0 c-¹.

Графік залежності фазової частотної функції j(w) від логарифма частоти lgw називається логарифмічною фазовою частотною характеристикою ЛФЧХ.

Приклад 3.5. Визначити логарифмічні частотні характеристики для умов прикладу 3.4.

Вирішення.

Скориставшись результатами, отриманими в ході вирішення прикладу 3.4, запишемо:

Відповідні графіки представлені на рис. 3.6.

Рис. 3.6 – Логарифмічні частотні характеристики

Використання ЛЧХ дає наступні переваги:

1. Характеристики мають меншу кривизну, тому можуть бути приблизно замінені ламаними лініями, складеними з декількох прямолінійних відрізків. Ці відрізки в більшості випадків будують досить просто.

2. У логарифмічній системі координат легше знаходити сумарні характеристики різних з'єднань елементів.