Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів

Короткі теоретичні відомості

Аналітичним конструюванням регуляторів (АКР) називається методика синтезу оптимального регулятора для заданого об’єкта при заданих обмеженнях і критерію оптимальності, що задається у квадратичній інтегральній формі вигляду:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru . (4.1)

Ця методика вперше була запропонована у роботах О.М.Льотова і Р.Калмана. Кожний з підходів має свої особливості, однак обидва розв’язання приводять до аналогічних результатів.

Якщо приєднання регулятора робить систему нестійкою, то це приєднання не може бути тривалим, і необхідно вжити заходів щодо забезпечення стійкості системи. Цю задачу можна розв’язати шляхом відкидання у розв’язку рівняння складових, що відповідають додатним кореням. При цьому час керування стає нескінченно великим, проте функціонал набуває найменшого з усіх можливих значення для різних Т.

Нехай критерієм якості роботи системи слугує функціонал вигляду:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.2)

Для знаходження екстремалі складаємо рівняння Ейлера. У даному випадку Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru , а значить:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.3)

Характеристичне рівняння має вигляд:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.4)

Для знаходження екстремалі необхідно враховувати тільки корені рівняння: Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru інакше система буде нестійкою. Таким чином, розв’язок рівняння (4.3) для стійкої системи має вигляд: Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Сталу С визначають із початкових умов: при t = 0, y = y0, тоді

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.5)

Рівняння (4.5) є рівнянням екстремалі, яка відповідає розв’язку диференціального рівняння першого порядку: Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru з характеристичним рівнянням Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru де Т – стала часу. Вагову константу r1 можна подати через цю сталу часу Т, якщо дорівняти поліноми:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Звідси r1 = Т2, і тоді рівняння екстремалі матиме вигляд:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.6)

Таким чином, при мінімізації функціоналу вигляду (4.2) структуру або параметри системи слід підбирати так, щоб перехідний процес у системі наближався до аперіодичного (4.6). Оскільки величина Т може бути взята різною, то маємо поле екстремалей, з яких вибираємо екстремаль, яка найбільш повно відповідає вимогам до системи.

При Т=0 отримуємо звичайний квадратичний інтегральний критерій:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.7)

У цьому випадку рівняння екстремалі: у = 0. Фізично це означає, що при ступінчастому змінюванні керуючої дії вихідна координата у повинна змінитися стрибком від значення у0 до у=0. Зрозуміло, що в інерційній системі такий режим не можна реалізувати. Зазначимо також, що прагнення прискорити змінювання вихідної координати призводить до різкого збільшення коефіцієнта підсилення у ланцюзі зворотного зв’язку, що, у свою чергу, сприяє збільшенню коливальності процесу.

Завдання до задачі

Слідкуюча система заданої структури (рис. 4.1) описується диференціальним рівнянням другого порядку. Для поліпшення якості перехідного процесу виконавчий механізм охоплений жорстким від’ємним зворотним зв’язком за швидкістю. Необхідно визначити оптимальне значення коефіцієнта зворотного зв’язку kз.з., при якому критерій І1 (4.2) набуває мінімального значення.

Вихідні дані наведено у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

№ вар. r1 k1 k2 T
0,9 0,4

Розв’язати задачу за умови: r1=0,01с2; k1=200; k2=0,25; Т=0,5 с.

Передавальна функція замкнутої системи має вигляд:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

а диференціальне рівняння буде:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.8)

Нехай вхідний сигнал змінюється стрибком від u до 0, тоді, вважаючи у(0)=1; Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru і позначивши:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

отримуємо:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.9)

Визначимо величину І1 через коефіцієнти диференціального рівняння. Для цього помножимо (4.9) почергово на у і Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru . Тоді отримаємо:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (4.10)

Врахуємо, що Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru і обчислимо такі інтеграли:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru (інтегрування частинами);

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Тоді після інтегрування системи (4.10) отримаємо:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Звідси

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru або

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Для знаходження kз.з. , що відповідає І1= min, запишемо:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Звідси оптимальне значення kз.з.: Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru

Для заданих значень: Т = 0,5 с; k1 = 200; k2 = 0,25 c-1; r1 = 0,01с2,

маємо: k0 = k1k2 = 50 c-1; a0 = T/k0 = 0,5/50 = 0,01 c2.

Тоді коефіцієнт зворотного зв’язку має значення:

Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів - student2.ru


Наши рекомендации