Первое начало термодинамики при изохорическом, изо-барическом и изотермическом процессах

Изохорический процесс		p	2	Нагревание
Если газ нагревается или охлаж-
дается при	постоянном	объеме
(рис.12.3.1), то dV = 0 и работа внешних	1	Охлаждение
сил равна нулю
					3
δA = pdV	⇒ A12=∫δA =0 . (12.3.1)	V
						Рис. 12.3.1
Сообщаемая газу	извне	теплота
пойдет только на увеличение его внутренней энергии, т. е.
	δQ = dU + δA ⇒ δQ = dU.	(12.3.2)
С учетом выражения (12.2.5)
δQ = dU ⇒	C M ν dT = dU или	dU =νCM dT . (12.3.3)
		V				V
Изменение внутренней энергии газа определятся соотношением
			T
		U =∫2	CVM νdT .		(12.3.4)
			T1
Если CM	= const (что справедливо для идеального газа), то со-
V
отношение (12.3.4) можно записать в виде
		T
	U =ν CVM ∫2	dT = CVM ν( T2−T1).	(12.3.5)
		T1

Получим выражения для молярной и удельной теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме. Для идеального газа измене-ние внутренней энергии определяется соотношением

dU =	i	νRdT .	(12.3.6)

Подставим выражение (12.3.6) в (12.3.3) и выразим C_V^M

i	ν RdT =νCM dT	⇒ CM =	i	νRdT	=	i	R .	(12.3.7)
	V	V		νdT

Удельная теплоемкость соответственно равна

	c	уд		СM	i R
		=	V =					.	(12.3.8)
	V		M	2 M
Изобарический процесс
Работа, совершаемая	газом	при изобарическом	процессе
(рис. 12.3.2), равна
V	V
A12=∫2	pdV = p ∫2	dV = p (V2− V1)= pV2− pV1=
V1		V1
	=ν RT2 − ν RT1 =ν R (T2 −T1) .	(12.3.9)
Сообщаемая газу извне теплота, согласно выражению (12.2.6),
равна
		δQ = C pM νdT .		(12.3.10)
Первое начало термодинамики запишем в следующем в виде
δQ = dU + δA	⇒ C pM ν dT = dU + pdV .	(12.3.11)

	p		Нагревание
p1	= p2	1			2
				A12
		РисV.112.3.2	V2 V

Продифференцировав уравнение Менделеева − Клапейрона при условии, что p = const, получим

pdV =νRdT.

(12.3.12)

Подставим выражение (12.3.12) в (12.3.11)

C _p^M ν dT =₂ⁱ ν RdT +νRdT . (12.3.13)

Молярная теплоемкость идеально-го газа при постоянном давлении равна

C pM =	iν RdT +2ν RdT		= i +2 R .	(12.3.14)
			2νdT
А удельная теплоемкость равна
	уд		СpM		i +2	R
cp	=		=				.	(12.3.15)
M			M

Из уравнений (12.3.7) и (12.3.15) можно получить формулу Майера

C M = i +2 R =	i	R + R = CM + R .	(12.3.16)
p			V

Изотермический процесс

Работа,

совершаемая

газом

при

изотермическом

процессе

V2

(рис. 12.3.3),

равна

A12 = ∫

pdV .

Выразим давление из

уравнения

V1

Менделеева − Клапейрона ( p = νRT V ) и подставим

V2

dV

V2

dV

V

A12=∫ν RT

V

=ν RT ∫

V

=νRT ln

.

(12.3.17)

V

V

V

Эту формулу можно преобра-

p

зовать и к иному виду, если учесть,

Изотермическое

что при изотермическом

процессе

p1

1

расширение

выполняется закон Бойля − Мариотта

p1 V1= p2 V2,откуда V2

=

p1

. Тогда

V

p

A

=νRT ln

p1

.

(12.3.18)

2

p2

p2

A12= Q12

Так как для идеального газа при T =

= const (dU = 0), то первое начало

V1

V2

V

термодинамики можно записать

в

Рис. 12.3.3

следующем виде

δQ = δA ⇒ Q

= A

=ν RT ln V2 =νRT ln

p1

.

(12.3.19)

V1

p2

12.4. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

p

Адиабатическим

называется

Адиабата

процесс, протекающий без тепло-

обмена с окружающей средой. Оп-

ределим

уравнение, связывающее

p1

1

параметры

идеального

газа

при

адиабатическом процессе. Так как

p2

2

по условию δQ = 0, то первое нача-

ло термодинамики можно записать

A12

в следующем виде

V1

V2

V 0 =δА + dU

⇒ δA = −dU. (12.4.1)

Рис. 12.4.1

Работа

газа при

адиабатиче-

ском процессе происходит за счет убыли внутренней энергии.

Учитывая, что dU =

i

URdT =νC M dT ,аδA = pdV,получим

V

pdV = −νC M dT .

(12.4.2)

V

Выразим давление из уравнения

Менделеева − Клапейрона

p =

νRT

и подставим в (12.4.1)

V

−ν C M dT =νRT dV

⇒

−C M dT = RT dV .

(12.4.3)

V

V

V

V

Приведем полученное выражение (12.4.3) к виду

dT = −

R

dV .

(12.4.4)

CM

T

V

V

Проинтегрируем выражение (12.4.4) в пределах от Т1 до T2 , и от V1 до V2:

T2 dT

R V2 dV

T

R

V

∫

∫ V

T

= −

⇒

ln

T

= −

ln

.

(12.4.5)

CM

CM

V

T

V

V

V

R

C pM −CVM

CpM

CpМ

i +2

R

= i +2

=

=

− 1 = γ −1 ⇒

γ =

=

, (12.4.6)

CVM

CVM

CVM

CVМ

i

i

2 R

где γ − адиабатическая постоянная.

Выражение (12.4.5) можно переписать в виде

ln T2 = − ( γ −1)ln V2

γ−1

⇒ ln T2 = ln V1

⇒

T1

V1

T1

V2

T2 =

V1

γ−1

⇒ T V γ−1

=TV γ−1

(12.4.7)

T1

2 2

V2

или

TV γ−1= const.

(12.4.8)

Перейдем от этого уравнения к уравнению в переменных p, V. Для этого выразим из уравнения Менделеева − Клапейрона темпера-

туру: T = _ν^pV_R и подставим в уравнение (12.4.8)

pV	V γ−1	= const ⇒	pV γ	= const .
	νR
νR

Учитывая, что ν и R − постоянные величины, получим pV ^γ= const.

(12.4.9)

(12.4.10)

Выражение (12.4.10) получило название уравнение Пуассона. Теперь перейдем к уравнению в переменных p, T. Из уравнения

Менделеева − Клапейрона выразим объем V = ^νRT_p . Тогда подставив в уравнение (12.4.10) получим:

	ν RT		γ	(12.4.11)
p		= const .
	p

Так как ν и R − постоянные, получим

			γ	(12.4.12)
p T		= const или p1−γT γ = const .
	p

Определим работу, совершаемую газом при адиабатическом процессе. Так как при адиабатическом процессе δA = −dU, и учитывая, что dU = νC_V^М dT , получим

δA = −νC

М dT .

(12.4.13)

V

Проинтегрировав полученное выражение от T1 до T2 , получим:

T

T

m

A12=∫2−ν CVМ dT = −ν CVМ ∫2

dT =ν CVМ ( T1− T2)=

CVМ ( T1− T2). (12.4.14)

M

T1

T1

Формулу (12.4.14) можно преобразовать следующим образом

C М

=

R

, а TV γ−1

=T V γ−1 .

γ −1

V

1 1

Отсюда

T =

TV γ−1

.

(12.4.15)

1 1

V γ−1

Подставим (12.4.15) в выражение (12.4.14), и получим

RT1

V1

γ−1

p1V1

V1

γ−1

A =ν

или

A =

,

(12.4.16)

γ −1

V

γ −1

V

учитывая, что νRT₁ = p₁ V₁ .

Политропические процессы

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиа-батический процессы происходят при постоянной теплоемкости. Про-цесс, при котором теплоемкость тела остается постоянной называется политропическим.Таким образом,условие,которое выполняется входе политропического процесса, заключается в том, что

C = const.

(12.5.1)

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Для этого запишем уравнение первого начала термодинамики для идеального газа в виде

ν CdT =ν C М dT + pdV .	(12.5.2)
V

В полученное уравнение входят все три параметра: p, V и T. Ис-ключим параметр Т, и получим уравнение политропы в переменных p, V.Для этого продифференцируем соотношение pV =νRT: