Описание опытной установки

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «Севмашвтуз» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт – Петербургский государственный морской технический университет»

В г. Северодвинске

ФАКУЛЬТЕТ: IV

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Определение момента инерции с помощью маятника Максвелла

СЕВЕРОДВИНСК

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ФМ - 12

Определение момента инерции с помощью маятника Максвелла

Цель и метод работы

1. Изучить теорию вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси;

2. Путем измерения характеристик маятника Максвелла определить момент инерции маятника экспериментально и сравнить его с теоретическим значением.

Основные теоретические положения

Законы вращательного движения твердых тел сходны с законами поступательного движения, однако, при описании вращения твердого тела учитывается не просто его масса, а распределение этой массы относительно оси вращения (рис.1).

Во вращательном движении твёрдого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям некоторых радиусов, причем, за время Dt радиусы любых точек тела поворачиваются на одинаковый угол поворота Dj. Угол поворота радиуса R является аксиальным вектором (или псевдовектором) и откладывается вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта. Скорость вращения можно оценивать угловой скоростью определяемая выражением

Δt → 0

.

Вектор по направлению совпадает с вектором , а его модуль углу поворота тела в единицу времени ; для равномерного вращения ; n - частота вращения; Т – период вращения или время одного оборота.

Скорость изменения вектора определяется вектором углового ускорения :

Δt → 0

.

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор может изменяться только по модулю. В этом случае векторы и коллинеарны, причем направлены в одну сторону, если вращение ускоренное (рис. 2 а), и в противоположные стороны, если вращение замедленное (рис. 2 б).

а) б)

Рис. 2

Угловая скорость и ускорение для всех точек вращающегося тела в данный момент времени одинаковы, однако, для различных точек тела линейные скорости движения по окружности разные, так как зависят от расстояния R точки до оси вращения. Модуль линейной скорости точки определяется выражением

.

Итак, . Для неравномерного вращения нормальное ускорение и тангенциальное ускорение

.

В общем случае векторы связаны векторными произведениями: и (рис. 3).

При отсутствии внешних воздействий или результирующем моменте внешних сил, равном нулю, всякое тело, имеющее ось вращения, будет сохранять состояние покоя или равномерного вращения.

Рассмотрим вращение твердого тела массой m, вокруг некоторой оси ОО₁ под действием внешних сил. Разобьем это тело на элементарные объемы с массой m_i (рис. 4).

Пусть - равнодействующая внешних и внутренних сил, приложенных к i – ому элементарному объему тела. Разложим на составляющие F_i^׀׀, F_i^t и F_i^{^}, где F_i^{^} - перпендикулярно оси ОО₁, сила F_i^׀׀ – параллельно оси вращения и F_i^t - по касательной к окружности (траектории движения i – ого элементарному объема.

При движении точки m_i силы F_i^׀׀ и F_i^t ускорение этой массе не сообщают, а сила сообщает касательное ускорение, а_t.

По второму закону Ньютона .

Момент силы равен

.

Умножим правую и левую части формулы на радиус окружности r_i:

,

где - угловое ускорение.

Величина - называется моментом инерции материальной точки, относительно оси (произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения).

, здесь M_i - момент силы, действующей на материальную точку.

Причем , т.к. .

Величина - момент инерции всего тела, равный сумме моментов инерции всех точек, составляющих это тело.

Итак, или получили выражение второго закона механики для вращательного движения: вектор момента внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение, полученное телом.

Таким образом, во вращательном движении роль силы выполняет момент силы, роль массы - момент инерции, а роль ускорения – угловое ускорение.

Момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении, характеризует его инертные свойства и показывает, что они зависят не только от величины, но и от характера распределения массы тела относительно оси вращения.

Если известен момент инерции тела относительно оси ОО₁, проходящей через его центр масс С, то момент инерции тела относительно произвольной оси КК₁, параллельной данной ОО₁, можно вычислить по теореме Штейнера: ,

где d – расстояние между осями (рис.5), m – масса тела.

Величина - называют моментом импульса (или моментом количества движения) материальной точки, а величина называется моментом импульса тела. Поскольку,

d

d

О

К

и , то момент внешних сил:

,

откуда или , где - приращение момента импульса за время

Выражение есть другая форма записи для второго закона Ньютона. Если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, т.е. , то , т.е. момент импульса изолированного тела есть величина постоянная. Мы получили закон сохранения момента импульса.

Описание опытной установки

Изучение закона сохранения энергии, основано на измерениях, полученных из характеристик мятника Максвелла. Установка представлена на рис. 6 и включает в состав: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний кронштейн 3, кронштейн 4 для установки фотодатчика, фотодатчик 5, диск 6 с осью, подвешенной на двух нитях 7, комплект из трех сменных колец с различными моментами инерции.

Основание снабжено тремя регулируемыми опорами 8 и зажимом 9 для фиксации вертикальной стойки 2.

Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала, и имеет визир 12.

На верхнем кронштейне 3 размещаются электромагниты 10 и узел 11 регулировки исходного положения маятника.

Кронштейн 4 имеет зажим для крепления на вертикальной стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика.

Установка работает от блока электронного ФМ 1/1.

Общий вид установки вместе с электронным блоком представлен в приложении 1.

Рис.6

Вывод рабочей формулы

2r

D

h

В данной работе определяют момент инерции с помощью маятника Максвелла. Для вывода расчетной формулы применим закон сохранения энергии, считая движущийся диск с осью консервативной системой. Наматывая на ось диска нить подвеса, поднимем его на высоту h. При этом диск приобретет потенциальную энергию Е=mgh, где m – масса диска. При раскручивании нити опускающийся диск движется поступательно и одновременно вращается вокруг своей оси. При этом потенциальная энергия диска превращается в кинетическую. По закону сохранения энергии для момента времени, когда диск опустится с высоты h, имеем (рис. 7)

Рис. 7

, (1)

где - скорость поступательного движения диска; J - момент инерции диска с осью относительно оси, проходящей через геометрический центр диска; w - угловая скорость вращения диска; - кинетическая энергия диска в поступательном движении; - кинетическая энергия диска во вращательном движении.

Так как равноускоренное движение диска начинается из состояния покоя, то

, (2)

здесь t - время опускания диска с высоты h.

Из формул (2) получаем

. (3)

Угловая скорость вращающегося диска определяется формулой

, (4)

в которой r - диаметр оси диски.

Подставляя (3) в (4), получим

. (5)

Заменив в соотношении (1) и w выражениями (3) и (5), получим формулу для момента инерции диска:

. (6)

Для нашей установки gt²/2h>>1, с учетом этого неравенства выражение (6) примет вид

(7)

Уравнение (7) является рабочей формулой данной лабораторной работы.

Таким образом, для определения момента инерции с помощью маятника Максвелла маятника Максвелла нужно измерить величины m, r, h, t.

Порядок проведения работы

1. Установить кронштейн с фотодатчиком в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы плоскость кронштейна, окрашенная в синий цвет, совпала с одной из рисок шкалы.

2. Произвести регулировку положения основания при помощи регулировочных опор так, чтобы диск на бифилярном подвесе находился в центре окна фотодатчика.

3. Установить с помощью узла регулировки 11 (рис. 7) необходимую длину бифилярного подвеса таким образом, чтобы нижний край среза сменного кольца маятника находился на 4-5 мм ниже оптической оси фотодатчика; при этом ось маятника должна занимать горизонтальное положение.

4. Подключить фотодатчик и электромагниты установки к блоку электронному при помощи кабеля. Вилку с маркировкой “Ф” вставить в розетку фотодатчика, а вилку с маркировкой “Э” в розетку электромагнитов.

5. Нажать кнопку “СЕТЬ”. При этом должно включиться табло индикации и должны включиться электромагниты.

6. Вращая маятник по часовой стрелке, зафиксировать его в верхнем положении при помощи левого (ближнего к стойке) электромагнита, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. При вращении маятника против часовой стрелки фиксировать маятник необходимо при помощи правого (дальнего от стойки) электромагнита.

7. Нажать кнопку “СБРОС” для того, чтобы убедиться, что на табло устанавливаются нули.

8. При нажатии кнопки “ПУСК” на блоке электромагниты должны обесточиться, маятник должен начать раскручиваться, таймер должен произвести отсчет времени, а в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика отсчет времени должен прекратиться.

9. При помощи визира по шкале вертикальной стойки определить высоту, с которой опускается маятника, h.

10. Нажать кнопку “СБРОС”. Привести маятник в исходное положение (зафиксировать в верхнем положении при помощи электромагнита).

11. Нажать кнопку “ПУСК” на блоке.

12. Записать показание таймера, т.е. время хода маятника t.

13. Полученные результаты измерений записать в табл. 1

Таблица 1

№	t, c	m, кг	D, м	h, м	Ji, кг·м2	Jср, кг·м2	DJi, кг·м2	DJср, кг·м2	dJ, кг·м2	Jэксп, кг·м2	Jтеор, кг·м2