Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения и связь между ними

Поступательное движение	Вращательное движение
Кинематика
Путь		Угол поворота
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
; ; ; ; ;
Динамика
Основное уравнение динамики поступательного движения		Основное уравнение динамики вращательного движения
Импульс		Момент импульса
Закон сохранения импульса		Закон сохранения момента импульса
Работа		Работа вращения
Мощность		Мощность
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия вращ. тела

1.7. Теория тяготения Ньютона

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Это взаимодействие называется гравитационным и является одним из фундаментальных взаимодействий в природе. Мы знаем о нем очень мало, гораздо меньше, чем, например, об электромагнитном взаимодействии. Тем не менее, на уровне механики мы можем описать гравитацию.

1.7.1. Закон всемирного тяготения: сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (рис.1.30):

или ,

где гравитационная постоянная, равная м³/кг с²; и – масса первого и второго тела; r – расстояние между телами.

1.7.2. Потенциальная энергия тела массы т, расположенного на расстоянии r от большего тела массы М (рис 1.48):

Рис. 1.48

1.7.3. Работа по перемещению тела массы m в гравитационном поле тела M (рис. 1.48):

1.7.4. Вектор напряжённостиполя тяготения численно равен силе действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы и совпадает с этой силой по направлению (рис. 1.49).

Зависимость напряженности от расстояния показано на рис. 1.50.

Рис. 1.49	Рис. 1.50

1.7.5. Теорема о циркуляции векторов и :

и .

Работа консервативных сил, при перемещении тела вдоль замкнутого контура L тождественно равна 0.

1.7.6. Потенциал поля тяготения– величина, равная отношению потенциальной энергии Е_п материальной точки к массе т:

.

На рисунке 1.49 показаны эквипотенциальные поверхности и линии напряженности .

1.7.7. Взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью:

.

1.7.8. Потенциальная энергия тела массойт на расстоянии r от Земли:

,

где потенциальная энергия гравитационного поля на поверхности Земли; радиус Земли.

1.7.9. Полная энергия тела в гравитационном поле:

.

1.8. Законы Кеплера

1.8.1. Первый закон Кеплера:Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находиться Солнце (рис. 1.51).

1.8.2. Второй закон Кеплера: радиус вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади (рис. 1.52):

.

Рис. 1.51	Рис. 1.52

1.8.3. Третий закон Кеплера: квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

, или

где Т – период обращения; R – радиус орбиты.

1.8.4. Первая космическая скорость – это скорость движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Земли (рис. 1.53):

.

Рис. 1.53

1.8.5. Вторая космическая скорость – это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца (рис. 1.54):

.

Рис. 1.54

1.8.6. Третьей космической скоростью называется скорость, при которой тело может покинуть пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца:

.

1.9. Механика жидкостей и газов

1.9.1. Давление жидкости на дно и стенки сосуда:

,

где F – сила, действующая на поверхность S.

1.9.2. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (рис. 1.55, 1.56):

Рис. 1.55	Рис. 1.56

1.9.3. Уравнение Бернулли:

где плотность жидкости; h – высота, на которой расположено сечение; Р – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока.

В качестве примеров применения уравнения Бернулли можно привести установку для измерения скорости течения жидкости (рис. 1.57), или устройство для измерения скорости самолета – трубку Пито (рис. 1.58).

Рис. 1.57	Рис. 1.58

1.9.4. Подъемная сила крыла самолета: профиль крыла самолета (рис. 1.59) имеет такую форму, что скорость обтекающего потока воздуха относительно крыла внизу меньше, а вверху больше: υ₂ > υ₁. Поэтому давление над крылом меньше, чем под крылом: Р₁ > Р₂. Это приводит к избыточной силе , которую можно разложить на две составляющие: подъемную силу _п и силу сопротивления

Рис. 1.59

1.9.5. Закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах уровни однородных жидкостей, считая от наиболее близкой к поверхности земли точки (рис. 1.60), равны:

.

1.9.6. Давление столба жидкости на глубине h:

.

В сообщающихся сосудах, заполненных разнородными жидкостями с плотностью , давления жидкостей на одном уровне одинаковы (рис. 1.60):

.

Рис. 1.60

1.9.7. Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:

,

где F_A – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости.

1.9.8. Формула Торричелли, позволяющая определить скорость ис­течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно

уровня жидкости в сосуде.

1.9.9. Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик:

,

где r – радиус шарика; – скорость шарика; коэффициент вязкости.

1.9.10. Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l:

,

где R – радиус трубки; – разность давлений на концах трубки.

1.9.11. Поверхностное натяжение (рис. 1.61):

или ,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур, ограничивающий поверхность жидкости; – поверхностная энергия, связанная с площадью поверхности пленки; l – длина контура, ограничивающего поверхностный слой жидкости.

1.9.12. Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

,

где и – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен (рис. 1.56), если центр кривизны вне жидкости (вогнутый мениск). Для сферической поверхности:

.

Рис. 1.61	Рис. 1.62

1.9.13. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке (рис.1.61):

,

где – краевой угол; r – радиус капилляра; – плотность жидкости.

1.9.14. Насыщенный пар – пар, находящийся в термодинамическом равновесии со своей жидкостью. Скорость преобразования пара равна скорости конденсации.

Давление насыщенного пара при данной температуре – максимальное давление, которое может иметь пар над жидкостью при этой температуре.

Давление насыщенного пара не зависит от жидкости объема сосуда, в котором находится пар. При изотермическом уменьшении объема насыщенного пара, часть пара переходит в жидкость, давление насыщенного пара при этом не меняется.

1.9.15. Относительная влажность воздуха – процентное отношение плотности (парциального давления) водяного пара в воздухе к плотности (парциальному давлению) насыщенного пара при той же температуре: φ = ρ/ρ(н) ∙ 100% или φ = p/p(н) ∙ 100%,

где ρ, ρ(н) – абсолютная влажность ненасыщенного и насыщенного водяного пара; p,p(н) – парциальное давление ненасыщенного и насыщенного водяного пара соответственно.

1.9.16. Абсолютная влажность воздуха – величина, равная плотности ρ водяного пара в воздухе или равная парциальному давлению P водяного пара:

или ,

где ρ – абсолютная влажность (плотность) водяного пара, m – масса водяного пара в объеме V, µ – молярная масса воды, P – парциальное давление водяного пара.

1.9.17. Точка росы – температура, при достижении которой ненасыщенный водяной пар становится насыщенным в результате изохорического охлаждения.

1.10. Специальная теория относительности

Г. Галилей установил, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму: в этом заключается суть механического принципы относительности. Противоречия между этим принципом и уравнениями электродинамики привело к отказу от преобразований Галлилея и созданию специальной теории относительности (СТО), являющейся предметом этой главы.

1.10.1. Принцип относительности Галилея: Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся.

1.10.2. Преобразования Галилея(рис. 1.63):

, , , или .

1.10.3. Закон сложения скоростей в классической механике(рис. 1.64):

.

Рис. 1.63	Рис. 1.64

1.10.4. Постулаты Эйнштейна:

· все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (принцип ивариантности систем отсчета);

· скорость света в пустоте (максимально возможная скорость) одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света.

1.10.5. Событие в механике определяется координатами и временем, где и когда оно произошло. Событие изображается мировой точкой в четырехмерном пространстве, на осях которого откладываются .Для простоты будем считать, что и в начальный момент событие произошло в мировой точке 0. (рис.) При изменении координат и времени мировая точка рисует мировую линию (рис. 1.65).

Абсолютно удаленные мировые точки не могут быть причинно связаны с событием 0, так как для попадания в них из 0 надо двигаться со скоростью, большей скорости света, что невозможно. Мировые точки, лежащие в конусах «абсолютное прошлое, будущее», могут быть причинно связаны с событием 0, являясь либо его причиной («абсолютное прошлое»), либо следствием («абсолютное будущее»).

Рис. 1.65

1.10.6. Интервал – характеризует свойства пространства-времени – расстояние между двумя мировыми точками (событиями):

.

Если , между событиями возможна причинная связь, а если , – невозможна. Интервал имеет одинаковое значение (т.е. инвариантен) в любой инерциальной системе отсчета.

1.10.7. Преобразования Лоренца (предполагается, что система отсчета К' движется со скоростью в положительном направлении оси х системы отсчета К (рис. 1.46),причем оси х' и х совпадают, а оси у' и у и z' и z параллельны; с – скорость распространения света в вакууме):

,

1.10.6. Следствия из преобразований Лоренца:

· Интервал времени между событиями (рис. 1.66):

.

· Лоренцево сокращение длины стержня (рис. 1.67, 1.68):

,

где – собственная длина стержня; – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью .

Рис 1.66	Рис 1.67

· Релятивистское замедление времени (рис. 1.52):

,

где τ – собственное время; промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный покоящимися часами (рис. 1.69).

Рис 1.68	Рис 1.69

· Релятивистский закон сложения скоростей: