N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық.

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru

Электр өрісінің суперпозиция принципі бойынша:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru немесе N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru

N заряд жүйесінің тұйық бет арқылы электр өрісінің кернеулік векторының ағыны осы бет қамтитын зарядтардың алгебралық қосындысына тура пропорционал.

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru

54-СҰРАҚ

Гаусс теоремасы. Электростатикалық өрісті есептеу әдістері.Гаусс теоремасын әр текті өріс кернеулігі үшін орыс математигі М.В.Остроградский қорытып шығарды. Заряд көлемдік тығыздығы r болатын тұйықталған беттің ішінде үздіксіз таралса, яғни r=dq/dV, онда V көлем ішінде зарядтың шамасы:Sqi=òr dV. Бұдан Гаусс теоремасы Ф= N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru (9.18) болып шығады. Енді Гаусс

теоремасын вакуумдағы кейбір электро-

+s -s статикалық өрістер үшін жазайық.

1.Біркелкі зарядталған шексіз жазықтық

өрісі үшін E=s/2e0(9.19).

2. Әртекті зарядталған екі шексіз парал-

лель жазықтықтар өрісі үшін (28-сурет):

E=0 E=s/e0E=0 E=s/e0 (9.20)- жазықтықтар аралығындағы

қорытқы кернеулік, ал жазықтық сыртында

кернеулік нольге тең.

55-СҰРАҚ

Электрстатикалық өрістердің қасиеттері

1. Электрстатикалық өрісте заряд орын ауыстырғанда орындалатын жұмыс. Нүктелік N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядының өрісінде екінші нүктелік заряд N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru 1-ші нүктеден 2-ші нүктеге қайсыбір траекториямен қозғалсын (12.1-сурет).

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru 12.1-сурет. Электр өрісінің жұмысы

Орындалатын элементар жұмыс N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болғандықтан, N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болады. N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядын 1-ші нүктеден 2-ші нүктеге дейін орын ауыстырғанда орындалатын жұмыс:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.1)

мұндағы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru мен N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru - N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядынан қозғалушы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru орналасқан бастапқы және соңғы нүктелерге дейінгі қашықтықтар. Осыған сәйкес (11.1) теңдігінен электростатикалық өрісте жұмыс зарядтың жүріп өткен жолының траекториясына байланысты емес екендігін және тек қана 1-ші мен 2-ші нүктелердің орнымен анықталатынын көруге болады. Олай болса, бұл электрстатикалық өріс потенциалды, электрлік күштер консервативті болады деген сөз. Егер N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru бірнеше нүктелік зарядтардың өрісінде қозғалатын болса, оған суперпозиция принципі бойынша, N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru күші әсер еткендіктен, атқарылатын жұмыс әр күш жұмыстарының алгебралық қосындысына тең, яғни

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.2)

бұл жердегі N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru мен N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru мөлшері N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядтан N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru орналасқан бастапқы және соңғы нүктелерге дейінгі қашықтық. Жоғарыдағы (12.2) формуладан туындайтын тағы бір қорытынды –электрстатикалық өрісте зарядтың тұйық контурдың бойымен орын ауыстыру жұмысының нөлге теңдігі, яғни N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болуы. Егер қозғалушы зарядты бірлік өлшемді зарядқа тең деп алсақ, онда (12.2) теңдіктен:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru ,

немесе N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.3)

Бұл интеграл электрстатикалық өрістің кернеулік векторының тұйық контур бойымен циркуляциясы деп аталады.

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru векторының циркуляциясы теоремасынан бірнеше маңызды қорытындылар шығаруға болады:

1) электрстатикалық өріс N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru кернеулігінің күш сызықтары тұйық болуы мүмкін емес

Шындығында да, егер N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru векторының қандай да бір сызығы тұйық болса, онда осы сызық бойымен N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru векторының циркуляциясын алсақ (12.3)

теориямен қарама-қайшылыққа келуші едік.

2) 12.2-суретте көрсетілген түрдегі электрстатикалық өрістің болуы мүмкін емес.

12.2-сурет.Электрстатикалық өрістің күш сызықтары тұйықталған болуы

мүмкін емес

Егерде 12.2-суретте көрсетілген үзік-үзік сызықтарға N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru векторының циркуляциясы теоремасын қолданса, онда ол нөлден ерекше болады, ал ол теоремаға қарама-қайшы келеді.

56-СҰРАҚ

Электрстатикалық өріс потенциалы. Потенциалдық өрістегі консервативтік күштер жұмысы потенциалдық энергияның кемуі нәтижесінде орындалатынын ескере отырып, (12.1) теңдеуін былай жазуға болады:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.4)

Демек, N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядының N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru заряды өрісіндегі потенциалдық энергиясын:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru (12.5)

деп алуға болады. Бұл формуладағы С-тұрақтысын потенциалдық энергияның шексіздіктегі мәні нөлге тең болуы шартынан табуға болады. Осыған сәйкес N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядының N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru өрісіндегі потенциалдық энергиясы:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.6)

не екінші жағынан соңғы формуланы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru -дің өрісінде орналасқан N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядының энергиясы деп те есептеуге болады. (12.6) өрнегінен берілген нүктедегі N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru қатынасының N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru -дің мөлшеріне байланысты емес екені байқалады. Сондықтан бұл қатынас - электрстатикалық өрістің энергетикалық сипаттамасы бола алады. Оны өрістің потенциалы деп атайды:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.7)

Бұл формуладан, электрстатикалық өрістің берілген нүктесіндегі потенциалы - сол нүктеде орналасқан бірлік өлшемдегі оң зарядтың потенциалдық энергиясына тең деген қорытынды шығады. Келтірілген (12.6) және (12.7) өрнектерінен нүктелік зарядтың потенциалы

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru (12.8)

екені шығады. Зарядты өрістің бір нүктесінен оның екінші нүктесіне дейін орын ауыстырғанда орындалатын жұмысты (12.8) теңдігін ескере отырып, төмендегідей түрде жазуға болады:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.9)

Бұдан көретініміз, орындалатын жұмыс орын ауыстырушы зарядтың мөлшері мен электрстатикалық өрістің заряд орналасатын бастапқы және соңғы нүктелерінің потенциалдар айырымының көбейтіндісіне тең болады екен. Егер өрісті бір ғана заряд емес, бірнеше N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru зарядтар құрайтын болса, онда (12.9) формуласы бойынша, осы өрісте орналасқан N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru -дің потенциалдық энергиясы

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.10)

бұдан нүктедегі ізделініп отырған потенциал

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru (12.11)

болады. Жоғарыдағы (12.10) теңдігімен салыстырғанда, (12.11) өрнегінен зарядтар системасының берілген нүктедегі потенциалы - ол өрістегі әрбір заряд потенциалдарының алгебралық қосындысына тең болатындығы байқалады. Егер зарядтардың берілген көлемдегі тығыздығы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болса, онда (12.11) теңдігін төмендегідей түрде жазуға болады:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.12)

Бұл интеграл зарядтар орналасқан кеңістікті толық қамтиды. Егер зарядтар берілген бір бетте N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru беттік тығыздықпен орналасса, онда:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.13)

мұндағы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru - зарядтың беттік тығыздығы; N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru - беттік аудан N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru -тің элементі

Электрстатикалық өрісті графиктік түрде күш сызықтары арқылы ғана емес эквипотенциалды беттер арқылы да кескіндеуге болады. Эквипотенциалдық беттер деп барлық нүктелерінің потенциалдары бірдей беттерді айтады. Егер өрісті нүктелік заряд тудырса, онда N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru формуласына сәйкес эквипотенциалдық беттер сфера түрінде болады

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru
12.3-сурет. Эквипотенциалдық беттер.

57-СҰРАҚ

Кернеулік векторы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru мен потенциал N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru арасындағы байланыс. N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru заряды туғызатын электр өрісінде N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru -ші заряды N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru осінің бойымен N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru қашықтыққа орын ауыстырғанда орындалатын жұмыс N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болсын. Екіншіден, бұл жұмыс N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru болады. Олардың оң жақтарын теңестіргенде:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru . (12.14)

Дәл осылай N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru және N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru өстерін қарастыра отырып, N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru векторының төмендегідей өрнегіне келеміз

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.15)

мұндағы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru - N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru – координат осьтері бойымен бағытталған бірлік векторлар.

Градиент туралы анықтамадан:

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru немесе N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru , (12.16)

мұндағы N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru - Гамильтон операторы (набла операторы). (12.16) бойынша - кернеулік N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru теріс таңбамен алынған потенциалдың градиентіне тең болады.

Электрстатикалық өрісті графиктік түрде күш сызықтары арқылы ғана емес эквипотенциалды беттер арқылы да кескіндеуге болады. Эквипотенциалдық беттер деп барлық нүктелерінің потенциалдары бірдей беттерді айтады. Егер өрісті нүктелік заряд тудырса, онда N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru формуласына сәйкес эквипотенциалдық беттер сфера түрінде болады (12.3-суретті қара). Нүктелік зарядтың күш сызықтары радиус бойымен бағатталғандығын айтқанбыз, яғни эквипотенциалдық беттер мен күш сызықтары өзара ортогональ болып келеді. Суретте күш сызықтары үзік-үзік сызықтармен жүргізілген. Эквипотенциалды беттердің жиілеуі (қоюлануы) потенциалдың мәнінің өзгеруіне сәйкес келеді. Зарядтан алыстаған сайын эквипотенциалдық беттер сирей береді. Эквипотенциалдық беттердің бағытын біле отырып күш сызықтарын жүргізуге болады немесе керісінше.

N зарядтан тұратын электрлік жүйенің электр өрісінің кернеулік векторының ағыны табайық. - student2.ru
12.3-сурет. Эквипотенциалдық беттер.

58-СҰРАҚ

Наши рекомендации