Оптической разностью хода волн. 3 страница

угол падения i_B — угол Брюстера, или угол полной поляризации, п₂₁ = п₂/п₁ — относительный по­казатель преломления второй среды относительно первой.

Преломленный луч всегда час­тично поляризован, причем при падении под углом Брюстера сте­пень его поляризации наиболь­шая. Используя (20.3) и закон преломления, нетрудно показать, что при полной поляризации от­раженного света угол между преломленным и отраженным лучами равен 90°.

Таким образом, граница раздела двух диэлектриков или ди­электрика и вакуума служит поляризатором.

В качестве поляризатора используют также стопу стеклянных пластин. Независимо от угла падения степень поляризации пре­ломленного луча возрастает по мере прохождения пластин, как это схематически показано на рис. 20.6.

¹ При этом возможна и круговая поляризация, которая здесь не рас­смотрена.

§ 20.3. Поляризация света при двойном лучепреломлении

Некоторые прозрачные кристаллы обладают свойством двой­ного лучепреломления: при попадании света на кристалл луч раз­дваивается. Для одного из лучей выполняются обычные законы преломления, и поэтому этот луч называют обыкновенным, для другого — эти законы не выполняются и луч называют необыкно­венным.

Двойное лучепреломление при нормальном падении света на поверхность кристалла показано на рис. 20.7: обыкновенный (о) луч, как это следует из закона преломления, проходит не прелом­ляясь, необыкновенный (е) — преломляется.

Направления, вдоль которых двойного лучепреломления нет и оба луча, обыкновенный и необыкновенный, распространяются с одной скоростью, называют оптическими осями кристалла' (штриховая линия на рис. 20.7). Если такое направление одно, то кристаллы называют одноосными (они и рассматриваются в этом параграфе). К ним принадлежит исландский шпат (разновидность углекислого кальция СаСО₃ — кристалл гексагональной системы), кварц, турмалин (сложный алюмосиликат, кристаллы тригональ-

ной системы) и др. Плоскость, проходящая через оптическую ось и падающий луч, называется главной плоскостью кристалла. Ко­лебания обыкновенного луча перпендикулярны главной плоскости, а необыкновенного — лежат в главной плоскости кристалла, т. е. эти лучи поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Двойное лучепреломление обусловлено особенностями распро­странения электромагнитных волн в анизотропных средах: амп­литуды вынужденных колебаний электронов зависят от направ­лений этих колебаний.

Ход обыкновенных и необыкновенных лучей в кристаллах можно наглядно представить с помощью волновых поверхностей. Предположим, что внутри кристалла произошла световая вспыш­ка и во все стороны распространяются две волны: обыкновенная и необыкновенная. В некоторый момент времени их волновые по­верхности займут положения, изображенные на рис. 20.8 (а — для положительных кристаллов, — для отрицательных). Сферы соответствуют обыкновенным волнам, имеющим по всем направ­лениям одинаковую скорость v₀; эллипсоиды — необыкновенным волнам, скорость и_е которых зависит от направления. Вдоль опти­ческих осей ОО' скорость обыкновенной и необыкновенной волн

одинакова и равна

v_o = c/n_o, (20.4)

где п₀ — показатель преломления обыкновенного луча, завися­щий от рода кристалла.

Для положительных кристаллов v_e <= v₀, для отрицательных v_e >= v₀. Наибольшее различие скоростей обыкновенная и необыкно­венная волны имеют в направлениях, перпендикулярных оптиче­ской оси; для этих направлений вводят показатель преломления п_е необыкновенного луча. У исландского шпата (отрицательный кристалл) п_о = 1,6584, п_е = 1,4864; у кварца (положительный кристалл) п₀ - 1,5442, п_е = 1,5533 (данные приведены для желтой линии натрия = 589,3 нм).

Двоякопреломляющие кристаллы непосредственно не используются как поляризаторы, так как пучки обык­новенных и необыкновенных лучей слишком мало расходятся или даже перекрываются. Однако из этих крис­таллов изготовляют специальные по­ляризационные призмы.

Рассмотрим наиболее распространенную призму, предложенную У. Николем (призма Николя, или просто николь).

Николь представляет собой призму из кристалла исландского шпата, разрезанного по диагонали и склеенного канадским баль­замом¹ К (рис. 20.9). Для него п = 1,550; это значение лежит меж­ду показателями преломления обыкновенного и необыкновенного лучей исландского шпата. Это позволяет, подобрав соответствую­щим образом углы призмы, обеспечить полное отражение обык­новенного (о) луча на границе с канадским бальзамом. Отражен­ный луч в этом случае поглощается зачерненной нижней гранью или выводится из кристалла. Необыкновенный (е) луч выходит из николя параллельно нижней грани.

На ином принципе основаны поляризаторы, изготовляемые из турмалина, герапатита (сернокислый иодхинин) и некоторых дру­гих кристаллов, которые наряду с двойным лучепреломлением мо­гут поглощать один из лучей значительно сильнее, чем другой (дихроизм). Так, в пластинке турмалина толщиной около 1 мм обыкновенный луч практически полностью поглощается и вышед­ший свет плоскополяризован.

Из мелких кристалликов герапатита выкладывают значитель­ные площади на целлулоидной пленке. Для их ориентации ис­пользуют электрическое поле. Такие устройства (поляроиды) мо­гут работать как поляризаторы (анализаторы).

Основным недостатком турмалина и поляроидов по сравнению с николем являются их плохие спектральные характеристики. Белый свет после прохождения этих поляризационных устройств становится окрашенным, в то время как николь прозрачен в ви­димой части спектра.

Достоинство поляроидов — большая поверхность, что позволя­ет использовать широкие световые пучки.

¹ Это смолообразное вещество — живица, получаемая из канадской пихты.

§ 20.4. Вращение плоскости поляризации. Поляриметрия

Вращение плоскости поляризации, обнаруженное впервые на кристаллах кварца, заключается в повороте плоскости поляри­зации плоскополяризованного света при прохождении через ве­щество. Вещества, обладающие таким свойством, называют оп­тически активными.

Пусть монохроматический свет падает от источника -S на систе­му поляризатор Р — анализатор А (рис. 20.10), которые поставле-

ны скрещенно, т. е. их главные плоскости взаимно перпендику­лярны. В этом случае свет до наблюдателя не дойдет, так как ана­лизатор не пропустит плоскополяризованный свет в соответствии с законом Малюса (j = 90°).

Если между поляризатором и анализатором поместить кварце­вую пластинку так, чтобы свет проходил вдоль ее оптической оси, то в общем случае свет дойдет до наблюдателя. Если же анализа­тор повернуть на определенный угол, то можно вновь добиться за­темнения. Это свидетельствует о том, что кварцевая пластинка вызвала поворот плоскости поляризации на угол, соответствую­щий повороту анализатора для получения затемнения.

Используя в опыте свет различных длин волн, можно обнару­жить дисперсию вращения плоскости поляризации (вращатель­ную дисперсию), т. е. зависимость угла поворота от длины волны. Кварцевая пластинка толщиной 1 мм поворачивает плоскость по­ляризации приблизительно на следующие углы (табл. 27).

Таблица 27

Для света: а, град красного 15 желтого 21 фиолетового 51

Для определенной длины волны угол а поворота плоскости по­ляризации пропорционален расстоянию I, пройденному светом в оптически активном веществе:

а = а_ог, (20.5)

где а₀ — коэффициент пропорциональности, или постоянная вращения (вращательная способность), град/мм.

Существует две модификации кварца, каждая из которых по­ворачивает плоскость поляризации в определенном направлении: по часовой стрелке — правовращающий (положительный) кварц, против часовой стрелки¹ — левовращающий (отрицательный). Постоянная вращения в обоих случаях одинакова.

Оптически активными являются также многие некристалли­ческие тела: чистые> жидкости (например, скипидар), растворы оптически активнь1х веществ в неактивных растворителях (рас­твор сахара в воде), некоторые газы и пары (пары камфоры).

Для растворов был установлен следующий количественный за­кон:

а = [ а_о]С1, (20.6)

где С — концентрация оптически активного вещества, I — толщи­на слоя раствора, [а₀] — удельное вращение, которое приблизи­тельно обратно пропорционально квадрату длины волны и зави­сит от температуры и свойств растворителя.

Соотношение (20.6) лежит в основе весьма чувствительного ме­тода измерения концентрации растворенных веществ, в частнос­ти сахара.

Этот метод (поляриметрия, или сахариметрия) используют в медицине для определения концентрации сахара в моче, в био­физических исследованиях, а также в пищевой промышленности. Соответствующие измерительные приборы называют поляри­метрами или сахариметрами.

Поляриметр позволяет измерять не только концентрацию, но и удельное вращение. Используя различные светофильтры, можно найти зависимость удельного вращения от длины волны (диспер­сию оптической активности), в настоящее время для этих целей применяют специальные приборы — спектрополяриметры.

Вращение плоскости поляризации растворами обусловлено взаимодействием электромагнитной волны с асимметричными молекулами растворенного оптически активного вещества. Такие молекулы не обладают зеркальной симметрией, т. е. при их «от­ражении» в зеркале получается иная форма. «Левая» молекула является зеркальным отображением «правой». Молекулы с оди­наковой химической формулой, но разной структурой поворачи­вают плоскость поляризации в разных направлениях.

Характерно, что все важнейшие биологические молекулы (бел­ки, нуклеиновые кислоты, полисахариды и т. п.) асимметричны и могут быть представлены попарно антиподами, каждый из кото­рых есть зеркальное отображение другого. Однако при этом в ве­ществах биологического, а не синтетического происхождения обычно представлен только один оптический антипод. Так, на­пример, сахар, изготовленный обычным путем, является право­вращающим, но при синтезе химическими методами получают смесь, содержащую равное количество «правых» и «левых» моле­кул. Такая смесь, называемая рацемической, не вращает плос­кости поляризации, так как происходит взаимная компенсация действия различных молекул. Если в раствор синтетически полу­ченного сахара поместить бактерии, которые питаются сахаром, то они будут усваивать только молекулы правовращающего са­хара.

Рацемическая смесь является менее упорядоченной системой и имеет большую энтропию, чем такая же совокупность молекул одного типа. Это термодинамическое различие синтетического и естественного может быть иллюстрацией физического смысла энтропии биологических систем.

Поляриметрию применяют не только для определения кон­центрации растворов, но и как метод исследования структурных превращений, в частности в молекулярной биофизике. В качестве примера на рис. 20.11 приведен график изменения удельного враще­ния [а₀] в одном из полипептидов в зависимости от состава растворите­ля, являющегося бинарной смесью хлороформа СНС1₃ и дихлоруксусной кислоты СНС1₂СООН. При 80% дих­лоруксусной кислоты происходит рез­кое падение оптической активнос­ти, что свидетельствует об измене­нии конформации молекул полипеп­тида.

¹ Направление вращения устанавливается относительно наблюдате­ля, смотрящего навстречу световому лучу.

§ 20.5. Исследование биологических тканей в поляризованном свете

Рассматривая прозрачные биологические объекты в микроско­пе, трудно выявить различные структуры, поэтому приходится применять некоторые специальные методики; в их числе поляри­зационная микроскопия.

Поляризационный микроскоп аналогичен обычному биологи­ческому микроскопу, но имеет поляризатор перед конденсором и анализатор в тубусе между объективом и окуляром. Предметный столик может вращаться вокруг оптической оси микроскопа. Та­ким образом, объект освещают поляризованными лучами и рас­сматривают через анализатор.

Если скрестить поляризатор и анализатор, то поле зрения будет темным, таким же оно останется при помещении на предметный столик изотропных прозрачных тел. Анизотропные предметы изме­няют поле зрения в соответствии с тем влиянием, которое они ока­жут на направление плоскости колебаний поляризованного света.

Так как некоторые ткани (мышечная, костная, нервная) обла­дают оптической анизотропией, то возможна поляризационная микроскопия биологических объектов. При скрещенных поляри­заторе и анализаторе будут видны только те волокна, анизотро­пия которых изменяет поляризованный свет.

Поляризованный свет можно использо­вать в модельных условиях для оценки ме­ханических напряжений, возникающих в костных тканях. Этот метод основан на яв­лении фотоупругости, которое заключается в возникновении оптической анизотропии в первоначально изотропных твердых телах под действием механических нагрузок.

Из прозрачного изотропного материала, например плексигласа, создают плоскую мо­дель кости. В скрещенных поляроидах эта модель незаметна, так как выглядит тем­ной. Прикладывая нагрузку, вызывают ани­зотропию плексигласа, что становится за­метным по характерной картине полос и пя­тен (рис. 20.12). По этой картине, а также по ее изменению при увеличении или умень­шении нагрузки можно делать выводы о ме­ханических напряжениях, возникающих в модели, а следовательно, и в натуре.

ГЛАВА 21

Геометрическая оптика

Геометрическая (лучевая) оптика — раздел, в котором изучав ют законы распространения света на основании представле­ния о световом луче как линии, вдоль которой распространя­ется энергия световой волны.

В главе законы геометрической оптики применяются к рас­смотрению конкретных оптических систем. Наряду с этим излагаются также вопросы физики глаза.

§ 21.1. Геометрическая оптика как предельный случай волновой оптики

В предыдущих главах были рассмотрены явления, для описа­ния которых необходимо учитывать волновую природу света. Од­нако во многих практических вопросах, таких, как формирова­ние светового пучка, образование изображения и др., волновые свойства света могут оказаться несущественными. Более того, учет интерференции, дифракции и поляризации в этих случаях лишь усложнит получение конечного результата. Для решения такого рода задач применяют законы геометрической оптики.

Геометрическая оптика есть предельный случай волновой оп­тики при стремлении длины волны к нулю. Это можно пояс­нить на примере дифракционной решетки. Из (19.26) при следует , т. е. получаем обычное для линзы фокусирование параллельного пучка света в точке О фокальной плоскости (см. рис. 19.10).

Для выяснения предельных возможностей оптических систем вновь приходится учитывать волновой характер света. Поэтому в этой главе частично рассматриваются вопросы интерференции и дифракции.

Геометрическая оптика является примером теории, позволив­шей при небольшом числе основных понятий и законов получить много практически важных результатов. В теории оптических устройств она и сейчас имеет большое значение.

§ 21.2. Аберрации линз

Приведем формулу тонкой линзы, известную из школьного курса:

(21.1)

где а₁ — расстояние от предмета до линзы, а₂ — расстояние от изо­бражения до линзы, Ry и R₂ — радиусы кривизны передней и за­дней сферических поверхностей линзы соответственно, п — показа­тель преломления вещества, из которого изготовлена линза; окру­жающая среда — воздух. Фокусное расстояние для такой линзы

(21.2)

Учитывая (21.2), формулу тонкой линзы представим в виде

(21.3)

Соотношение (21.1) полученодля тонкой линзы при следую­щих предположениях: 1) изображение формируется узкими приосевыми (параксиальными) пучками, составляющими неболь­шие углы с главной осью системы; 2) показатель преломления для всех длин волн одинаков. При выполнении таких условий со­здается точечное изображение, т. е. каждая точка предмета дает одну точку изображения.

Эти условия не реализуются на практике. Показатель прелом­ления зависит от длины волны (дисперсия). Точки предмета ле­жат в стороне от оптической оси, что не отвечает первому усло­вию. Применение только параксиальных лучей существенно ог­раничило бы световые потоки.

Все это приводит к аберрациям¹, или погрешностям, реальных оптических систем, существенно снижающим качество оптических изображений. Однако, зная причины аберраций, можно добиться их устранения, если соответствующим образом подобрать систему линз.

Рассмотрим некоторые основные аберрации линзы.

Сферическая аберрация.Она заключается в том, что пери­ферические части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точ­ки S на оси, чем центральные (рис. 21.1). Вследствие этого изображение светящейся точки на экране Э имеет вид светлого пят­на. Для устранения сферической аберрации создают систему из вогнутой и выпуклой линз.

Астигматизм². Это недостаток оптической системы, при кото­ром сферическая световая волна, проходя оптическую систему, деформируется и перестает быть сферической.

Различают два вида астигматизма. Один из них обусловлен па­дением на оптическую систему лучей, составляющих значитель­ный угол с оптической осью (астигматизм косых пучков).

Пусть точка А предмета расположена вне главной оптической оси (рис. 21.2, а); из всех лучей, идущих от этой точки, выделим небольшой элементарный пучок таким образом, чтобы его цент­ральный луч AS лежал в одной плоскости с главной оптической осью ОО'. Любую плоскость, проходящую через главную оптиче­скую ось, называют меридиональной; в данном примере возьмем плоскость, в которой лежат центральный луч элементарного пуч­ка и главная оптическая ось (на рис. 21.2, а — плоскость чер­тежа).

При наклонном падении элементарного пучка линза создаст два изображения точки А в виде отрезков прямой. Один из них лежит в меридиональной плоскости и отчетливо виден на экране II (см. рис. 21.2, а), другой — в перпендикулярной плоскости, которую называют сагиттальной, он отчетливо виден на экране I. В про­межутке между плоскостями I и II наблюдается пятно рассеяния, имеющее форму эллипса или окружности (рис. 21.2, б). Если пред­метом является отрезок линии, то качество изображения зависит от ориентации отрезка. Отрезки, расположенные в меридиональ­ных плоскостях³, дают четкое изображение в плоскости II, а рас­положенные в сагиттальных плоскостях — в плоскости I.

Для демонстрации астигматизма косых пучков удобна сетка, представленная на рис. 21.3, а. Помещая ее как предмет перпен­дикулярно оптической оси, зададим систему отрезков, лежащих в меридиональных плоскостях (радиусы) и сагиттальных (окруж­ности). На рис. 21.3, б, в показаны изображения этих отрезков, полученные в соответствующих плоскостях.

Для исправления астигматизма создают сложные оптические системы, состоящие из нескольких линз, благодаря чему удается об­разовать хорошие изображения при углах падения лучей 50—70°.

Другой вид астигматизма обусловлен асимметрией оптиче­ской системы. Линзы с такой аберрацией называют астигмати­ческими. Эти линзы, как и в случае астигматизма косых пучков, создают изображение, в котором контуры и линии, ориентирован­ные в разных направлениях, имеют разную резкость.

Дисторсия.Этот вид аберрации возникает вследствие того, что лучи, посылаемые предметом в систему, составляют большие углы с оптической осью, при этом зависимость линейного увели­чения от угла пучка приводит к нарушению подобия изображе­ния и предмета. Типичные проявления дисторсии показаны на рис. 21.6: а — подушкообразная; б — бочкообразная; предметом является сетка с квадратными ячейками.

Подбирая систему из нескольких линз с противоположным ха­рактером дисторсии, можно исправить эту аберрацию.

Хроматическая аберрация.Как видно из (21.2), фокусное расстояние линзы определяется показателем преломления, кото­рый зависит от длины волны. Поэтому пучок белого света, идущий параллельно главной оптической оси, будет фокусироваться в раз­ных ее точках, разлагаясь в спектр (рис. 21.7; ф — фиолетовые лучи, к — красные), кружок на экране окажется окрашенным. В этом заключается хроматическая аберрация, которая очень час­то сопутствует изображениям в линзах.

Для исправления этого вида аберрации создают ахроматиче­ские оптические системы из линз, которые изготовляют из стекол с разной дисперсией: ахроматы и апохроматы.

В оптических устройствах используют системы из линз, назы­ваемые анастигматами, в которых исправлены не только хро­матическая аберрация, но и сферическая, а также и астигматизм.

Существуют и другие виды аберраций, которые здесь не рас­сматриваются .

Наиболее наглядно астигматизм такого типа можно продемонст­рировать на цилиндрической линзе (рис. 21.4). Пучок лучей, па­раллельных главной оптической оси, преломляется линзой L только в плоскостях, перпендикулярных образующей цилиндра, поэтому на экране Э, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблю­дается прямая линия, а не точка, как при сферических линзах. Ес­ли с помощью цилиндрической линзы отобразить на экране сетку из тонкой проволоки с квадратными ячейками (рис. 21.5, а), то наибо­лее четкое изображение получается в виде системы параллельных линий, направленных вдоль образующей цилиндра (рис. 21.5, б, в; изображения соответствуют двум взаимно перпендикулярным поло­жениям цилиндрической линзы).

Одновременное устранение всех аберраций может оказаться слишком слояшой или даже неразрешимой задачей, поэтому обычно избавляют­ся только от тех погрешностей, которые существенно мешают основному назначению оптической системы. Так, для объективов микроскопов важ­но устранение сферической аберрации, возникающей при рассматрива­нии объектов, лежащих вблизи фокуса и отображаемых широкими пуч­ками.

¹ Aberratio (лат.) — уклонение.

² Астигматизм — не точечный. Точке предмета соответствует не одна точка изображения.

³Предполагается, что предмет лежит в плоскости, перпендикуляр­ной главной оптической оси.

§ 21.3. Понятие об идеальной центрированной оптической системе

Реальные оптические системы состоят из различных деталей и часто включают в себя несколько линз (см. § 21.2). При произ­вольном расположении линз расчет и построение изображений могут быть достаточно сложными.

На практике часто используют системы сферических поверх­ностей (линз), центры которых лежат на одной прямой — главной оптической оси. Такие оптические системы называют центриро­ванными.

Рассмотрим некоторые выводы теории идеальных центриро­ванных оптических систем, предложенной Гауссом. В таких системах каждой точке или линии пространства предметов соот­ветствует только одна точка или линия пространства изображе­ний. Соответственные пары точек или линий обоих пространств называют сопряженными. К идеальной центрированной оптиче­ской системе приближаются такие, в которых используются па­раксиальные лучи. Такая система есть физическая абстракция, позволяющая рассчитывать реальные системы с учетом степени их отклонения от идеальной.

Укажем характерные точки и плоскости центрированной оп­тической системы (рис. 21,8; Q₁ и Q₂ — крайние сферические по­верхности), принятые в теории Гаусса, с помощью которых мож­но построить изображения предметов.

Проведем в пространстве предметов луч A1 параллельный главной оптической оси О1О₂. В пространстве изображений ему сопряжен луч А₂, проходящий через точку F₂. Точка F₂ простран­ства изображений, сопряженная бесконечно удаленной точке про­странства предметов, является вторым, или задним, фокусом системы.

Аналогично, лучу В₂ пространства изображений соответствует

луч В₁ пространства предметов, проходящий через точку F1 Точ­ка .F1 пространства предметов, сопряженная бесконечно удален­ной точке пространства изображений, является первым, или пе­редним, фокусом¹.

Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно глав­ной оптической оси, называют фокальными.

Так как лучи А₁ и В1 попарно сопряжены лучам А₂ и В₂, то со­пряжены и точки C1 и С₂ пересечения этих лучей или их продол­жений. Проведя через С1 и С₂ плоскости, перпендикулярные О1О₂, получим точки Ну и Н₂. Имеем попарное сопряжение этих плоскостей, точек Н1 и Н₂ и отрезков С1Н1 и С₂Н₂.

Отрезки С₁Н₁ и С₂Н₂ не только сопряжены, но и равны (IC^ffJ = = |С₂Д"₂| = h) и имеют одинаковое направление относительно опти­ческой оси (одинаковые знаки); следовательно, для них линейное увеличение р* = +1. Оптическая система имеет две сопряженные плоскости, перпендикулярные оптической оси, для которых ли­нейное увеличение сопряженных отрезков b = +1; такие плоскос­ти и соответствующие точки Н₁ и Н₂ главной оптической оси на­зывают главными.

Расстояния между фокусами и соответствующими главными точками называют фокусными расстояниями: