Прямые и косвенные измерения

Все измерения, которые были проведены в главе 2, носят название прямых, то есть все измеренные величины были получены прямым измерением конкретными приборами. Но существуют такие физические величины, для измерения которых не существует приборов.Самый простой и понятный тому пример – объем пластины, представляющей собой прямоугольный параллелепипед. Обозначим длину, ширину и толщину такой пластины через и соответственно и измерим их с помощью штангенциркуля с ценой деления мм. Запишем в таблицу 1 в нашей лабораторной тетради (надеюсь каждый уже приобрел такую) пример измерений:

Таблица 1. Измерение объема параллелепипеда

a, мм	Δa, мм	b, мм	Δb, мм	c, мм	Δс, мм	V, мм3	ΔV, мм3
13,5	0,05	5,3	0,05	2,2	0,05

Как видите, кроме значений соответствующих размеров в таблице 1 указана погрешность измерения каждого размера ( ). Две последних ячейки пока пусты. Для того, чобы найти объем пластины, надо перемножить длину, ширину и толщину

мм³

Мы нашли объем тела! Но мы его не измеряли напрямую, поэтому такие измерения называются косвенными.

Осталось разобраться, как вычислить погрешность измеренного объема. Подойдем к этому вопросу с математической точки зрения, ведь объем это произведение трех чисел и , измеренных независимо друг от друга. Таким образом, объем это функция трех независимых переменных. Предположим, что мы изменили только одну переменную на , при этом функция объема изменилась на величину

,

где – частная производная от объема по переменной , причем две другие переменные и считаются постоянными. Рассуждая таким же образом в отношении двух других пременных, можно узнать изменение объема при изменении и

и .

Если теперь предположить, что все три переменных изменяются одновременно, то изменение объема можно выразить так

На самом деле такой рассчет дает завышенный результат, так как предполагает изменение трех переменных на максимальное значение одновременно. На самом деле погрешности измерений длины, ширины и толщины независимы, и могут даже компенсировать друг друга. Тем не менее на первом этапе изучения погрешностей можно пользоваться этой грубой оценкой, не вдаваясь в тонкости теории ошибок, а для любознательных рекомендую прочитать книгу [1]. Более точная формула для рассчетов погрешности косвенных измерений строится не на сумме частных приращений, а на сумме их квадратов:

Рассчитаем частные производные и оценим погрешность объема:

Если это выражение поделить на объем , то получим относительную погрешность объема

Относительная погрешность измерения объема оказывается равна сумме относительных погрешностей каждой переменной! Зная относительную погрешность, можно найти и абсолютную:

мм³

Давайте переделаем таблицу 1, дополнив ее относительными погрешностями всех измерений.

Таблица 2. Измерение объема параллелепипеда и погрешности его измерения.

геометрические размеры	значения	абсолютная погрешность	относительная погрешность
a - длина	13,5 мм	0,05 мм	0,0037
b - ширина	5,3 мм	0,05 мм	0,0094
c - толщина	2,2 мм	0,05 мм	0,0227
V - объем	157,41	5,635 мм3	0,0358

Правильно ли будет написать ответ так

мм³ ?

Такой ответ будет выглядеть не совсем грамотно. Давайте рассудим. Погрешность измерения равна 5,635 мм³ и первая цифра 5 в погрешности указывает на неточность уже в разряде целых, т.е. цифра 7 в значении мм³ рассчитана не точно. Тогда какой смысл писать после запятой еще несколько цифр? В таких случаях принято давать ответ в округленном виде. Для этого надо сначала округлить погрешность до первой ненулевой цифры, то есть до целых: мм³, а потом округлить и само значение объема до мм³. Таким образом, ответ должен выглядеть так

мм³ ( )