Волновая функция и ее статистический смысл
Соотношение между импульсом р частицы и длиной волны де Бройля λБр , справедливость которого подтверждена эксперимен-тально, привело к убеждению , что для описания состояния микрочас-тицы нужно воспользоваться некоторым волновым образованием. В квантовой механике такому волновому образованию соответствует функция координат и времени, получившая название волновой функ-ции Ψ(x, y, z, t).Она выступает как основной носитель информации окорпускулярных и волновых свойствах микрочастицы. Поясним смысл волновой функции на примере интерпретации опыта по прохо-ждению электронов через две щели.
| Пусть на экран, где | ФП | ||||||||
| имеются две щели, рас- | |||||||||
| стояние между которыми | |||||||||
| сравнимо | с дебройлев- | 1 | 1 | ||||||
| ской длиной волны, на- | |||||||||
| правлен | поток ускорен- | 2 | |||||||
| ных электронов со строго | 2 | ||||||||
| фиксированным импуль- | |||||||||
| сом (рис. 8.3.1, а). При- | |||||||||
| чем интенсивность пото- | а | б | в | г | |||||
| ка настолько мала, что на | |||||||||
| Рис. 8.3.1 | |||||||||
| экран в каждый относи- |
тельно малый промежуток времени , необходимый для регистрации отдельной частицы, попадает только один электрон. Прошедшие через две щели электроны можно регистрировать различными методами, но во всех случаях они проявляют себя как отдельные частицы, случайно попадающие в различные места экрана. Однако за длительный про-межуток времени пространственное распределение интенсивности (например, степени почернения фотопластинки ФП), которая пропор-циональна количеству электронов, попавших на единичный участок фотопластинки, имеет вид регулярно чередующихся минимумов и максимумов рис. 8.3.1, г. Если оставить открытой только первую или вторую щель, то распределение интенсивностей будет определяться кривыми, изображенными на рис. 8.3.1, в (кривые 1 и 2). Сопоставле-ние кривых показывает, что распределение интенсивности (рис.
8.3.1, в) не является суммой интенсивностей 11 и I2 . B этом случае кривая распределения интенсивности от двух щелей имеет вид , соот-ветствующий типичной интерференционной картине, когда в одних точках экрана наблюдается усиление, а в других − ослабление интен-сивности. Объяснить наблюдаемое распределение интенсивности электронов можно только в рамках двух следующих предположений, не имеющих аналога в классической физике.
1. Электрон при прохождении через экран, в котором открыты обе щели, проявляет себя как волновой объект, одновременно прохо-дящий через обе щели: волновая функция электрона, попадающего на экран, является суммой волновых функций Ψ1 и Ψ2 , каждая из кото-рых описывает состояние электрона, когда открыта соответственно только первая и только вторая щель:
| Ψ = Ψ1 + Ψ2 . | (8.3.1) |
Это утверждение совпадает с правилом сложения волн и являет-ся частным случаем одного из важнейших принципов квантовой ме-
ханики − принципа суперпозиции для волновых функций: если для фи-зической системы возможно состояние с волновой функцией Ψ1и со-стояние с волновой функцией Ψ2 может реализоваться и смешанное состояние с волновой функцией
| Ψ = aΨ1 + bΨ2 , | (8.3.2) |
где а и b − некоторые комплексные или действительные числа.
В рассмотренном эксперименте (рис. 8.3.1) волновая функция электрона в случае с обеими открытыми щелями является суперпози-цией волновых функций электрона в опытах с поочередно открытой первой или второй щелью. Справа от экрана со щелями эти волновые функции накладываются и дают типичную интерференционную карти-ну. Так можно объяснить механизм прохождения электронами щелей.
Различие принципов суперпозиции квантовой и классической физики состоит в следующем. Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпози-ции получается новое колебание. Причем физические величины в но-вом колебании имеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях. В квантовой теории сложение двух одинаковых состоя-ний сводится к умножению волновой функции на постоянную вели-чину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описы-
вают одно и то же состояние. Физические величины в результате та-кой суперпозиции не изменяют своих значений, потому что не изме-няется состояние. Принцип суперпозиции показывает, что из имею-щихся квантовых состояний можно образовать многими способами новые состояния и каждое состояние можно рассматривать как ре-зультат суперпозиции двух или многих других состояний, причем бесконечным числом способов. Суперпозиция квантовых состояний является физическим принципом, но представление состояния как ре-зультата суперпозиции других состояний является чисто математиче-ской процедурой и всегда независимо от физических условий. Однако насколько это целесообразно, и какое именно представление целесо-образно, зависит от конкретных физических условий.
2. Квадрат амплитуды световой волны определяет плотность ве-роятности попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля волновой функции Ψ(x, y, z, t) определяет плотность вероятности того,что в заданный момент времени t кван-товая частица находится в точке пространства с координатами х, у, z:
| |Ψ|2 = f (x, y, z, t). | (8.3.3) |
Это выражение получило название постулата Борна.
Квадрат модуля комплексной волновой функции определяется соотношением
| |Ψ|2 = Ψ · Ψ*. | (8.3.4) |
Это важное и, как оказалось, правильное утверждение М. Борна, вы-
сказанное в 1926 г., дает статистическую, т. е. вероятностную, ин-терпретацию квадрата модуля волновой функции.
Тем самым удалось совместить свойства микрочастиц интерфе-рировать со свойством регистрироваться по отдельности . Предложен-ная Борном трактовка сущности волновой функции, и в частности волны де Бройля для свободной частицы, принципиально отличает ее от упругой волны в сплошной среде и электромагнитных волн. Вместе с тем аналогия волновых процессов различной природы позволяет обосновать утверждение (8.3.3) с точки зрения обычных волн.
Вероятность dp того, что частица находится в элементе объема dV равна
| dp = fdV = |Ψ|2 dV. | (8.3.5) |
Вероятность найти частицу в конечном объеме V определяют как
| p =∫ dp =∫ | Ψ | 2dV . | (8.3.6) | ||||
| V | V | ||||||
Если частица находится в неограниченном пространстве, то ве-роятность ее обнаружения в нем равна единице, отсюда следует усло-вие нормировки волновой функции
| ∫ | Ψ | 2dV =1. | (8.3.7) | |||
| ∞ |
Уравнение Шредингера
Построение квантовой механики невозможно без уравнения, ко-торое позволило бы по заданным внешним силовым полям и началь-ным условиям описывать движение частицы в пространстве и во вре-мени. Состояние квантовой частицы определяется плотностью веро-ятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координа-тами х, у, z. Плотность вероятности задается квадратом модуля волно-вой функции |Ψ(х, у, z, t)|2. Поэтому искомое уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцией Ψ( х, у, z, t). Также это уравнение должно обладать некоторыми чертами , присущими волно-вому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц. Эту задачу решил Шредингер, кото-рый написал в 1926 г. уравнение, решая которое можно находить вол-новую функцию:
| ih | ∂Ψ | = − | h2 | ΔΨ +U Ψ , | (8.4.1) | ||||||
| ∂t | 2 m | ||||||||||
| где i = −1 − мнимая единица; m − масса частицы; | = | ∂2 | + | ∂ 2 | + | ∂2 | − | ||||
| ∂x2 | ∂y 2 | ∂z2 | |||||||||
оператор Лапласа ; U(x, у, z, t) − потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.
| ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ | ||
| ΔΨ = | ∂x2 + ∂y 2 + ∂z2 . | (8.4.2) |
Выражение (8.4.1) называют временным уравнением Шрединге-
ра. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовоймеханики. Как и уравнение для второго закона Ньютона, не выводит-ся, а постулируется. Критерием его справедливости является хорошее согласие результатов, полученных на основе формулы (8.4.1), с экспе-
риментальными данными в атомной и ядерной физике.
В тех случаях, когда частица находится в стационарных потен-циальных силовых полях (потенциальная энергия U не зависит от времени), то решение уравнения (8.4.1) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от коор-динат, а другая только от времени
| iEt | |
| Ψ ( x, y , z , t ) =ψ ( x, y , z ) ⋅ e − iωt =ψ ( x , y , z ) ⋅e− h , | (8.4.3) |
где Е − полная энергия частицы, которая в случае стационарности по-ля остается неизменной.
Подставим функцию (8.4.3) во временное уравнение Шрединге-
ра (8.4.1)
| ih | − iE | iEt | h2 | iEt | iEt | |||||||
| ψ ( x, y, z)e− h | = − | Δψ ( x, y, z)e− | h | + U ψ(x, y, z)e− | h . (8.4.4) | |||||||
| h | 2m | |||||||||||
| Сократив выражение (8.4.4) на величину e | −iEt | |||||||||||
| h получим | ||||||||||||
| Eψ( x , y , z )= − | h2 | Δψ ( x , y , z ) + U ψ( x , y , z) . | (8.4.5) | |||||||||
| 2m | ||||||||||||
| Преобразуем выражение (10.4.5) | ||||||||||||
| Δψ ( x, y, z) + 2 m2 ( E − U )ψ ( x, y, z) = 0 . | (8.4.6) | |||||||||||
| h | ||||||||||||
Выражение (8.4.6) называется стационарным уравнением Шре-дингера.
Функции ψ(х, у, z), являющиеся решениями уравнения (8.4.6), называются собственными функциями. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (8.4.6) в ряде случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е, а лишь при опреде-ленных ее значениях. Значения энергии Е, при которых имеет место решение уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии.Собственные значения энергии Е могут образовывать как не-прерывный, так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае говорят о непрерывном, во втором − о дискретном спектре энергии.
Лекция № 14
8.6. Волновая функция свободной частицы.
8.7. Соотношение неопределенностей.
8.8. Уровни энергии и волновая функция частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме.