Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату

Системы, рассчитать которые нельзя с помощью одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Прирешении задач сопромата недостающие уравнения составляют из условий совместности деформаций. Число дополнительных уравнений характеризует степень статической неопределимости системы. Особенности статически неопределимых систем: распределение внутренних усилий в статически неопределимых системах зависит от соотношений жесткостей элементов. С увеличением жесткости элемента увеличивается усилие в этом элементе и уменьшается в остальных, в статически неопределимых системах могут возникать напряжения и при отсутствии внешних сил (нагрузок, реакций) из-за неточности изготовления отдельных элементов (монтажные напряжения), а также от изменения температуры ( температурные напряжения). Решение статически неопределимых систем в сопротивлении материалов можно вести, используя три метода:

1) расчет по допускаемым напряжениям;

2) расчет по разрушающим нагрузкам;

3) расчет по предельным состояниям.

В машиностроении отдается предпочтение первому методу, а в строительстве - второму и третьему.

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru Основы теории напряженного и деформированного состояния - напряженное состояние в точке твердого тела

На рис. 8 показано тело, находящееся в состоянии равновесия. Под действием внешних сил F1, F2, …Fn между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия.

Для исследования этих сил в сечении ав тела возьмем точку А внутри элементарного параллелепипеда. Если размеры параллелепипеда уменьшать, то он стянется в точку. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке. При рассмотрении напряженного состояния в точке предполагаем, что тело, на которое действуют внешние силы, однородно, т.е. используем гипотезу о сплошности среды.

Полное напряжение, возникающее на каждой грани элементарного параллелепипеда со сторонами dх, dу, dz, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение обозначается через сигму с индексом соответствующим осям х, у, 2 (рис. 9,а)

Касательное напряжение обозначается буквой т с двумя индексами: первый соответствует оси перпендикулярной к площадке, второй - оси, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самих осей произвольная.

В сопротивлении материалов нормальные растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие - отрицательными.

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

Напряжения, возникающие на гранях элемента (dх, dz; dx, dy; dy, dz) показаны на рис. 9,а. Элемент будет находиться в состоянии равновесия в результате равенства сил, действующих по его граням и моментам, создаваемым силами относительно осей х, у, z :

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены оба к ребру или от ребра. Полученные уравнения отражают очень важный закон - закон парности касательных напряжений. Следствием этого закона является то, что на гранях выделенного элемента (рис. 9,а) имеем не девять, а только шесть независимых компонентов напряжений, т.к. касательные напряжения равны попарно.

Расположим все напряжения, определяющие напряженное состояние в рассматриваемой точке, в виде следующей матрицы:

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

В первом столбце расположены все компоненты напряжений, имеющие направления, параллельные оси х, во втором - параллельные оси у и в третьем столбце - параллельные оси . Нормальные напряжения при таком способе построения расположены по главной диагонали, а одинаковые по величине касательные напряжения расположены симметрично относительно этой диагонали.

Эту матрицу принято называть тензором напряжений

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

Рассматриваемый элемент (рис. 9,а) ориентирован в пространстве произвольно. Если его мысленно разворачивать относительно осей х, у, 2, то он может занять в какой-то момент положение, когда по его граням будут действовать только нормальные напряжения Ох, Оу, Оz. Нормальные напряжения соответствующие этому положению элемента, принято называть главными напряжениями.

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

Эти напряжения обозначаются О1>О2 >О3, т-е. наибольшему алгебраическому значению напряжения соответствует первый индекс и т.д. Площадки или грани элемента, по которым не действуют касательные напряжения называются главными площадками (рис. 9,6).

Различают три вида напряженного состояния; линейное или одноосное (рис. 10а), плоское или двухосное (рис. 106), объемное или трехосное (рис. 10в). Наиболее простой случай - линейное напряженнее состояние.

Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату - student2.ru

Наши рекомендации