Оптической разностью хода волн. 1 страница

На основании (19.7) и (19.8) получим связь между разностью фаз и оптической разностью хода интерферирующих волн:

(19.9)

Используя законы сложения колебаний (см. § 5.3.) и соотно­шение (19.9), получаем условия максимума и минимума ин­тенсивности света при интерференции — соответственно

Следовательно, максимум при интерференции наблюдается в тех точках, для которых оптическая разность хода равна цело­му числу длин волн (четному числу полуволн), минимум — в тех точках, для которых оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

^{____________________________}

¹ Схематичность рис. 19.3 не позволяет показать разные среды распространения для различных волн.

² Полезно заметить, что так как не зависит от времени, то слагаемые волны являются когерентными.

19.2. Интерференция света в тонких пластинках (пленках). Просветление оптики

Образование когерентных волн и интерференция происходят также при попадании света на тонкую прозрачную пластинку или пленку.

Пучок света падает на плоскопараллельную пластинку (рис. 19.4). Луч 1 из этого пучка попадает в точку А, частично отража­ется (луч 2), частично преломляется (луч AM). Преломленный луч испытывает отражение на нижней границе пластинки в точке М. Отраженный луч, преломившись в точке В, выходит в первую среду (луч 3). Лучи 2 и 3 образованы от одного луча, поэтому они когерентны и будут интерферировать.

Найдем оптическую разность хода лучей 2 и 3. Для этого из точ­ки В проведем нормаль ВС к лучам. От прямой ВС до встречи лу­чей их оптическая разность хода не изменится, линза или глаз не внесут дополнительной разности фаз. До расхождения в точке А эти лучи в совокупности с другими, параллельными им, не пока­занными на рис. 19.4, формировали луч 1 и поэтому, естественно, имели одинаковую фазу. Луч 3 прошел расстояние в пластинке с показателем преломления п, луч 2 — расстояние в воздухе, поэтому их оптическая разность хода

(19.12)

так как . Согласно закону преломления,

(19.13)

где i — угол падения, г — угол преломления.

Из АМО находим: (/ — толщина пластинки). Из АСВнаходим

Учитывая эти равенства, а также (19.13), получаем

Тогда оптическая разность хода ин­терферирующих волн равна

Рис.19.4

В формуле (19.14) не учтено одно важное обстоятельство. Опыт показывает, что при отражении света от среды оптически более плотной, т. е. с большим показателем преломления, фаза волны изменяется на п, что соответствует [см. (19.9)] изменению оптиче­ской разности хода на , т. е. при отражении света от среды оптически более плотной происходит «потеря полволны»¹.

Если бы оба луча 2 vs. 3 теряли пол волны, то это не изменило бы выражения для (19.14). Однако луч 2 отражается от среды опти­чески более плотной (точка А) и теряет полволны, а луч 3 отража­ется от среды оптически менее плотной (точка М), его фаза при этом не изменяется. С учетом потери полволны оптическая раз­ность хода

(19.15)

Так как , то d можно выразить и через угол падения:

(19.16)

Для максимума интерференции [см. (19.10), (19.16)] имеем

(19.17)

Для минимума интерференции [см. (19.11), (19.16)] имеем²

(19.18)

Формулы (19.17) и (19.18) соответствуют интерференции в от­раженном свете. Интерференция в проходящем через пластинку свете показана на рис. 19.5; изо­бражены только те лучи, которые необходимы для понимания яв­ления. Читатель может самостоятель­но вывести соответствующие фор-­
мулы и убедиться, что для этого случая (19.17) соответствует мини­муму интерференции, а (19.18) —
максимуму. С учетом закона со­хранения энергии это понятно, так как интерференция есть перерас- пределение световой энергии: падающий поток перераспределяется пластинкой на отраженный и

Рис. 19.5

проходящий (поглощением здесь пре­небрегаем), причем если отраженный максимален, то проходящий минимален, и наоборот.

Интерференция при отражении наблюдается более отчетливо, чем в проходящем свете, что обусловлено существенным различи­ем интенсивностей отраженного и проходящего лучей. Если при­нять, что на границе раздела прозрачных сред отражается около 5% падающей энергии, то

(19.19)

где — интенсивности лучей 1 м 2 соответственно (см. рис.19.4). Интенсивность луча 3 с учетом двукратного преломления и однократного отражения равна

(19.20)

Из (19.19) и (19.20) имеем

(19.21)

что означает приближенное равенство амплитуд интерферирую­щих лучей при отражении: условие минимума соответствует по­чти полной темноте. Делая аналогичный расчет для проходящего света (рис. 19.5), получаем

или для амплитуд

(19.22)

Из (19.22) видно, что в проходящем свете интерферируют вол­ны с существенно различными амплитудами, поэтому максиму­мы и минимумы мало отличаются друг от друга и интерференция слабо заметна.

Проанализируем зависимости (19.17) и (19.18).

Если на тонкую плоскопараллельную пластинку под некото­рым углом падает параллельный пучок монохроматического из­лучения, то, согласно этим формулам, пластинка в отраженном свете выглядит яркой или темной.

При освещении пластинки белым светом условия максимума и минимума выполняются для отдельных длин волн, пластинка станет окрашенной, причем цвета в отраженном и проходящем свете будут дополнять друг друга до белого.

При падении монохроматического света на пластинку переменной толщи­ны каждому значению I соответствует
свое условие интерференции, поэтому пластинка пересечена светлыми и тем­ ными линиями (полосами) — линиями равной толщины. Так, в клине это система параллельных линий (рис. 19.6), в воздушном промежутке между линзой и пластинкой — кольца (кольца Ньютона).

Рис. 19.6

При освещении пластинки переменной толщины белым светом получаются разноцветные пятна и линии: окрашенные мыльные пленки, пленки нефти и масла на поверхности воды, переливча­тые цвета крыльев некоторых насекомых и птиц. В этих случаях не обязательна полная прозрачность пленок.

Особый практический интерес имеет интерференция в тонких пленках в связи с созданием устройств, уменьшающих долю све­товой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличи­вающих, следовательно, энергию, поступающую к регистрирую­щим системам — фотопластинке, глазу и т. п. С этой целью по­верхности оптических систем покрывают тонким слоем оксидов металлов так, чтобы для некоторой средней для данной области спектра длины волны был минимум интерференции в отражен­ном свете. В результате возрастает доля прошедшего света. По­крытие оптических поверхностей специальными пленками назы­вают просветлением оптики, а сами оптические изделия с такими покрытиями — просветленной оптикой.

Если на стеклянную поверхность нанести ряд специально по­добранных слоев, то можно создать отражательный светофильтр, который вследствие интерференции будет пропускать или отра­жать излучение в определенном интервале длин волн.

¹ Для циклических процессов не имеет значения, уменьшается или уве­личивается фаза на к, поэтому равноценно было бы говорить не о потере, а о приобретении полволны, однако такая терминология не употребляется.

² Для того чтобы при максимумах и минимумах сохранить для k те же значения (0, 1, 2 и т. д.), формулу (19.16) для записываем

§ 19.3. Интерферометры и их применение. Понятие об интерференционном микроскопе

Интерференцию света используют в специальных приборах — интерферометрах — для измерения с высокой степенью точнос­ти длин волн, небольших расстояний, показателей преломления веществ и определения качества оптических поверхностей.

На рис. 19.7 изображена принципиальная схема интерферо­метра Майкельсона, который относится к группе двухлучевых, так как световая волна в нем раздваивается¹ и обе ее части, прой­дя разный путь, интерферируют.

Луч 1 монохроматического света от источника S падает под уг­лом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку А, задняя поверхность которой полупрозрачна, так как покрыта очень тон­ким слоем серебра. В точке О этот луч расщепляется на два луча 2 и 3, интенсивность которых приблизительно одинакова.

Луч 2 доходит до зеркала /, отражается, преломляется в пластине А и частично выходит из пластины — луч 2'. Луч 3 из точки О идет к зеркалу //, отражается, возвращается к пластине А, где частично от­ражается, — луч 3'. Лучи 2' и 3', попадающие в глаз наблюдателя, когерентны, их интерференция может быть зарегистрирована.

Обычно зеркала I и II располагают так, что лучи 2 и 3 от рас­хождения до встречи проходят пути одинаковой длины. Чтобы и оптическую длину путей сделать одинаковой, на пути луча 3 уста­навливают прозрачную пластину В, аналогичную А, для компен­сации двух путей, пройденных лучом 2 через пластину А. В этом случае наблюдается максимум интерференции.

Если одно из зеркал сдвинуть на расстояние , то разность хода лучей станет к/2, что соответствует минимуму, произойдет смещение интерференционной картины на 0,5 полосы². Если зеркало от первоначального положения переместить на расстоя­ние к/2, то оптическая разность хода
интерферирующих лучей изменится на к, что соответствует максимуму, произойдет смещение интерференци­онной картины на целую полосу. Та­кая связь между перемещением зер­кала и изменением интерференцион­ной картины позволяет измерять длину волны по перемещению зерка­ла и, наоборот, перемещение по длине волны.

Интерферометр Майкельсона применяют для измерения пока­зателя преломления. На пути лучей 2 и 3 устанавливают одинако­вые кюветы К (показаны штриховыми линиями на рис. 19.7), од­на из которых наполнена веществом с показателем преломления n1 а другая — с п₂. Оптическая разность хода лучей

Рис. 19.7

(19.23)

где I — длина однократного пути луча в среде, заполняющей кю­веты; так как лучи проходят кювету дважды, то расстояние равно 21. Предположим, что вследствие этой разности хода интерферен­ционная картина смещается на полос, тогда

(19.24)

Приравнивая (19.23) и (19.24), получаем

(19.25)

Если считать, что смещение на 0,1 полосы (к = 0,1) может быть зафиксировано, то, например, при имеем

Как видно, интерференционный рефрактометр (интерферо­метр, приспособленный для измерения показателя преломления) способен фиксировать изменения показателя преломления в шес­том знаке после запятой.

Интерференционный рефрактометр применяют, в частности, с санитарно-гигиеническими целями для определения содержания вредных газов.

С использованием интерферометра Майкельсон доказал неза­висимость скорости света от движения Земли, что явилось одним из опытных фактов, способствовавших созданию специальной те­ории относительности.

Сочетание двухлучевого интерферометра и микроскопа, полу­чившее название интерференционного микроскопа, используют в биологии для измерения показателя преломления, концентра­ции сухого вещества и толщины прозрачных микрообъектов.

Принципиальная схема интерференционного микроскопа пока­
зана на рис. 19.8. Луч света, как и в ин­терферометре, в точке А раздваивается,один луч проходит через прозрачный микрообъект М, а другой — вне его. В точке Д лучи соединяются и интерферируют, по результату интерференции судят об измеряемом параметре.

Рис. 19.8

1 1 Строго говоря, вследствие многократных отражений может образо­ваться более чем два луча, однако их интенсивности незначительны

2 2 Вследствие разных углов падения лучей из S на пластину А или не­ строгой перпендикулярности зеркал I и II интерференционная картина практически всегда представлена полосами (полосы равного наклона или равной толщины соответственно). Этот вопрос подробно не рассматрива­ется.

§ 19.4. Принцип Гюйгенса—Френеля

Объяснение и приближенный расчет дифракции света можно осуществить, используя принцип Гюйгенса—Френеля.

Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, ко­торой достигла в данный момент волна, является центром элемен­тарных вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхностью в последующий момент времени (рис. 19.9; S_l и S₂ — волновые поверхности соответственно в моменты t_t и t₂; t₂ > tj).

Френель дополнил это положение Гюйгенса, введя представ­ление о когерентности вторичных волн и их интерференции. В таком обобщенном виде эти идеи получили название принципа Гюйгенса—Френеля.

Для того чтобы определить результат дифракции в некоторой
точке пространства, следует рассчитать, согласно принципу Гюй­
генса—Френеля, интерференцию вторичных волн, попавших в эту
точку от различных элементов волновой по­верхности. Для волновой поверхности произ­вольной формы такой расчет достаточно сложен, но в отдельных случаях (сферическая или плоская волновая поверхность, симметричное расположение точки относительно волновой поверхности и непрозрачной преграды) вычисления сравнительно

Рис. 19.9

просты. Волновую поверх­ность при этом разбивают на отдельные участ­ки (зоны Френеля), расположенные определенным образом, что упрощает математические операции.

§ 19.5. Дифракция на щели в параллельных лучах

На узкую длинную щель, расположенную в плоской непроз­рачной преграде MN, нормально падает плоскопараллельный пу­чок монохроматического света (рис. 19.10; АВ = а — ширина ще­ли; L — собирающая линза, в фокальной плоскости которой рас- -положен экран Э для наблюдения дифракционной картины).

Если бы не было дифракции, то световые лучи, пройдя через щель, сфокусировались бы в точке О, лежащей на главной оптиче­ской оси линзы. Дифракция света на щели существенно изменяет явление.

Рис. 19.10

Будем считать, что все лучи пучка света исходят от одного уда­ленного источника¹ и, следовательно, когерентны. АВ есть часть волновой поверхности, каждая точка которой является центром вторичных волн, распространяющихся за щелью по всевозмож­ным направлениям. Изобразить все эти вторичные волны невоз­можно, поэтому на рис. 19.10 показаны только вторичные волны, распространяющиеся под углом а к направлению падающего пуч­ка и нормали к решетке. Линза соберет эти волны в точке О' экра­на, где и будет наблюдаться их интерференция. (Положение точ­ки О' получают как пересечение с фокальной плоскостью побоч­ной оси СО' линзы, проведенной под углом а.)

Чтобы узнать результат интерференции вторичных волн, про­делаем следующие построения. Проведем перпендикуляр AD к направлению пучка вторичных волн. Оптические пути всех вто­ричных волн от AD до О' будут одинаковыми, поскольку линза не вносит добавочной разности фаз между ними, поэтому та разность хода, которая образовалась у вторичных волн к AD, будет сохра­нена и в точке О'.

Разобьем BD на отрезки, равные l/2. В случае, показанном на рис. 19.10, получено три таких отрезка: \ВВ₂\ = \В₂В_г\ = \B₁D\ = = l/2. Проведя из точек В₂ и В1 прямые, параллельные AD, разде­лим АВ на равные зоны Френеля: \АА_г\ = \А1А₂\ = \А₂В\. Любой вторичной волне, идущей от какой-либо точки одной зоны Френеля, можно найти в соседних зонах соответствующие вторичные волны такие, что разность хода между ними будет /2. Например, вторичная волна, идущая от точки А₂ в выбранном направлении, проходит до точки О' расстояние на /2 больше, чем волна, иду­щая от точки A1, и т. д. Следовательно, вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, погасят друг друга, так как раз­личаются по фазе на .

Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны и угла . Если щель АВ можно разбить при построении на не­четное число зон Френеля, a BD — на нечетное число отрезков, равных /2, то в точке О' наблюдается максимум интенсивнос­ти света:

(19.26)

Направление, соответствующее углу а = 0, также отвечает макси­муму, так как все вторичные волны придут в О в одинаковой фа­зе.

Если щель АВ можно разбить на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум интенсивности света:

(19.27)

Таким образом, на экране Э получится система светлых (мак­симум) и темных (минимум) полос, центрам которых соответству­ют условия (19.26) и (19.27), симметрично расположенных влево и вправо от центральной (а = 0), наиболее яркой, полосы. Интен­сивность I остальных максимумов быстро убывает по мере удале­ния от центрального максимума (рис. 19.11).

Если щель освещать белым светом, то на экране Э [см. (19.26), (19.27)] образуется система цветных полос, лишь центральный максимум будет сохранять цвет падающего света, так как при а = 0 усиливается свет всех длин волн.

Рис. 19.11

Дифракция света, как и интерференция, связана с перераспре­делением энергии электромагнитных волн в пространстве. В этом смысле щель в непрозрачном экране является не просто системой, ограничивающей поступление светового потока, но перераспреде­лителем этого потока в пространстве.

Чтобы понять влияние соотношения между шириной щели и длиной волны на возможность наблюдения дифракционной кар­тины, рассмотрим некоторые частные случаи:

1) << а. Представив формулу для максимумов в виде

имеем sin a ~ 0 практически для всех максимумов, и дифракция при этом не наблюдается. Этот случай соответствует достаточно широкой, по сравнению с длиной волны, щели. Так, например, не удается осуществить дифракцию в комнате при прохождении све­та через окно;

2) . На основании (19.27) для первых минимумов, которые ограничивают центральную светлую полосу, можно записать

Отсюда следует, что при заданном условии sin а формально пре­вышает единицу, чего не может быть. Практически в этом случае вместо системы максимумов и минимумов весь экран будет слабо освещен.

¹ Практически точечный источник можно расположить в фокусе лин­зы, не показанной на рис. 19.10, так, что от линзы будет распространять­ся параллельный пучок когерентных волн.

§ 19.6. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр

Дифракционная решетка — оптическое устройство, пред­ставляющее собой совокупность большого числа параллельных, обычно равноотстоящих друг от друга, щелей.

Дифракционную решетку можно получить нанесением непроз­рачных царапин (штрихов) на стеклянную пластину. Непроцарапанные места — щели — будут пропускать свет; штрихи, соот­ветствующие промежутку между щелями, рассеивают и не пропус­кают света. Сечение такой дифракционной решетки (о) и ее условное обозначение (б) показанына рис. 19.12. Суммарную ширину щели а и промежутка Ъ между щелями называют постоянной или периодом дифракционной ре­шетки:

Рис. 19.12 (19.28)

Если на решетку падает пучок когерентных волн, то вторич­ные волны, идущие по всевозможным направлениям, будут ин­терферировать, формируя дифракционную картину.

Пусть на решетку нормально падает плоскопараллельный пу­чок когерентных волн (рис. 19.13). Выберем некоторое направле­ние вторичных волн под углом а относительно нормали к решет­ке. Лучи, идущие от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода = А'В'. Такая же разность хода будет для вторич­ных волн, идущих от соответственно расположенных пар точек соседних щелей. Если эта разность хода кратна целому числу длин волн, то при интерференции возникнут главные максиму­мы, для которых выполняется условие , или

(19.29)

где ... — порядок главных максимумов. Они расположены симметрично относительно центрального (k = 0, а = 0). Равенство (19.29) является основной формулой дифракционной решетки¹.

Между главными максимумами образуются минимумы (доба­вочные), число которых зависит от числа всех щелей решетки. Выведем условие для добавочных минимумов. Пусть разность хо­да вторичных волн, идущих под углом а от соответственных то­чек соседних щелей, равна /N, т. е.

(19.30)

где N — число щелей дифракционной решетки. Этой разности хо­да [см.(19.9)]отвечает разность фаз

Рис. 19.13

Если считать, что вторичная волна от первой щели имеет в мо­мент сложения с другими волнами нулевую фазу, то фаза волны от второй щели равна , от третьей — , от четвертой — и т. д. Результат сложения этих волн с учетом фазового раз­личия удобно получить с помощью векторной диаграммы: сумма N одинаковых векторов напряженности электрического поля, угол (разность фаз) между любыми соседними из которых есть , равна нулю. Это означает, что условие (19.30) соответствует минимуму. При разности хода вторичных волн от соседних щелей или разности фаз будет также получен минимум интерференции вторичных волн, идущих от всех ще­лей, и т. д.