Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
Э.Шредингер в 1926 г. записал свое квантовое уравнение движения, считая, что с течением времени меняется вектор состояния системы ψ(t), а операторы динамических переменных не зависят от времени: 
. Эта картина эволюции квантовой системы во времени получила название шредингеровской картины движения.Какому же уравнению удовлетворяет вектор состояния, т.е. каков вид основного уравнения квантовой динамики в шредингеровском представлении[9]?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой среднего значения динамической переменной в представлении Гейзенберга:
(14.1)
где
(13.24)
Тогда выражение (14.1) преобразуется к виду:
(14.2)
где унитарный оператор 
, действуя на вектор состояния, переносит на него временную эволюцию квантовой системы:
(14.3)
Таким образом, в шредингеровском представлении вектор состояния квантовой системы со временем меняется согласно закону:
(14.4)
операторы же остаются неизменными: 
.
Следовательно, связь между гейзенберговской и шредингеровской картинами развития системы во времени осуществляется унитарным преобразованием, производимым с помощью оператора эволюции S(t) (13.20).
Дифференцируя по времени выражение (14.4), получим квантовомеханическое уравнение движения Шредингера:
(14.5)
В координатном представлении вектор состояния переходит в волновую функцию 
, а уравнение (14.5) приобретает вид известного волнового уравнения квантовой динамики:
(14.6)
Гамильтониан H, например, для квантовой частицы с массой m0, движущейся в потенциальном поле, имеет вид (6.27):
Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
Рассмотрим описание состояния квантовой системы с помощью оператора матрицы плотности 
. Как меняется с течением времени оператор ?
Для выяснения этого вопроса вновь используем выражение среднего значения некоторой физической величины A, изображающейся линейным эрмитовым оператором 
в гейзенберговском представлении:
.
Согласно (13.24)
поэтому
(15.1)
где учтено свойство цикличной инвариантности следа матрицы плотности (8.22).
В выражении (15.1) эволюция во времени перенесена на матрицу плотности 
:
(15.2)
Дифференцируя (15.2) по времени, получим[10]
Таким образом, уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности во времени имеет вид:
(15.3)
Это уравнение, полученное фон Нейманом, позволяет определить оператор для любого момента времени, если он известен при t0=0.
Сопоставление способов описания эволюции