Решение радиального уравнения

Запишем радиальное уравнение (10.16) с кулоновским потенциалом (11.1):

(11.2)

Для упрощения уравнения перейдем к безразмерной переменной

, где а — постоянная, называемая боровским радиусом.

Расчет дает на основании известных констант ћ, μ, x, e следующее ее значение:

а = 0,52*10^{-8 см ~ 0,5 A.}

Эта величина определяет порядок расстояний в атоме.

Введем также обозначения:

(11.3)

Постоянная Ry имеет размерность энергии: ее значение Ry~ 13,6 эВ

дает порядок энергии электрона в атоме.

Нашей целью является изучение связанных состояний электрона, для которых E<0, а β²>0, причем β— величина безразмерная и действительная. После подстановки β и ρ в уравнение (11.2) получаем новое уравнение

Это уравнение и необходимо решить для нахождения искомой радиальной функции в поставленной выше задаче об атоме водорода.

Уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, причем коэффициенты при –dR/dρ и R в нем — функции ρ. Решение таких уравнений с переменными коэффициентами —довольно сложная математическая задача, разрешаемая с помощью метода степенных рядов. Приведем сначала результаты решения (ниже оно прослежено в основных чертах).

Уравнение (11.4) имеет удовлетворяющие необходимому условию квадратичной интегрируемой функции состояния решения, если выполняется равенство

n_r +l +1 = 1/β

где n_r= 0, 1, 2,... носит название радиального квантового числа.

Обычно вводится главное квантовое число nn соотношением

n = n_r + 1+1, (11.6)

откуда с учетом значений l видно, что

n=1, 2, 3,

Из формулы (11.5) с учетом (11.6) и обозначения {5 в формуле

(11.3) следует формула энергии:

. (11.7)

Энергия стационарных состояний квантуется главным квантовым числом n. Оно же входит и в функции стационарных состояний через радиальный множитель — решение уравнения (11.4). Мы записываем его, возвращаясь к исходной переменной r:

Здесь L — полиномы переменной величины x = 2r/na, вычисляющиеся

по полиномообразующей формуле(они называются полиномами Лагерра):

если

2r/na = х,

то

(П.9)

Функции R_nl нормированы на единицу условием

оо

\R2nlr2dr=l. (11.10)

о

Приведем в качестве примеров радиальные волновые функции

для основного и ближайших к нему возбужденных состояний:

—-—е~^а , (11.11)

2а5'2 т/6

117

рядка, причем коэффициенты при -^ и R в нем — функции р. Решение таких уравнений с переменными коэффициентами —довольно сложная математическая задача, разрешаемая с помощью метода степенных рядов. Приведем сначала результаты решения (ниже оно прослежено в основных чертах).

Уравнение (11.4) имеет удовлетворяющие необходимому условию квадратичной интегрируемой функции состояния решения, если выполняется равенство

где пг = 0, 1, 2,... носит название радиального квантового числа.

Обычно вводится главное квантовое число п соотношением

П = Пг + 1+\, (11.6)

откуда с учетом значений I видно, что

я=1, 2, 3,

Из формулы (11.5) с учетом (11.6) и обозначения {5 в формуле

(11.3) следует формула энергии:

Еп=-%£. (П-7)

Энергия стационарных состояний квантуется главным кванто-

квантовым числом п. Оно же входит и в функции стационарных состояний

через радиальный множитель — решение уравнения (11.4). Мы

записываем его, возвращаясь к исходной переменной г:

Здесь L — полиномы переменной величины —, вычисляющиеся

г па

по полиномообразующей формуле: если — = х, то

] (П.9)

(они называются полиномами Лагерра).

Функции Rni нормированы на единицу условием

оо

\R2nlr2dr=l. (11.10)

о

Приведем в качестве примеров радиальные волновые функции для основного и ближайших к нему возбужденных состояний:

—-—е~^а , (11.11)

2а5'2 т/6

Можно показать, что радиальные функции имеют n - l -1 узлов — пересечений с осью r в интервале (0, оо).

Проследим за принципиальными этапами решений радиального уравнения. Прежде чем искать функцию R (ρ) в виде степенного ряда, обеспечим достаточно «хорошее» поведение решения при ρ->-оо: нужно, чтобы R (ρ) стремилось к нулю.

Если ρ->-оо, то уравнение (11.4) асимптотически стремится к виду

Это асимптотическое уравнение имеет решение, обращающееся в нуль на бесконечности:

Далее оно будет принято во внимание при поисках вида решения уравнения

(11.4).

Надо также исключить возможную сингулярность — бесконечно большое значение R (ρ) при ρ-»0. Если ρ->0, то уравнение (11.4) может быть записано приближенно:

Это асимптотическое уравнение имеет два решения:

/?i=p-(' + I), -/?2 = р', (11.12)

причем первое следует отбросить, так как R₁ -> 0 при ρ ->оо.

Итак, асимптотика решения уравнения (11.4) определяется найденными функциями. Основываясь на этом, ищем функцию R (ρ) в виде

Л(р) = е-ррр7(р). (11.13)

где f (p) — новая неизвестная функция. Подстановка предполагаемого решения

(11.13) в уравнение (11.4) приводит к следующему в нашей цепи уравнению для

неизвестной функции f (ρ):

(11.14)

Сделаем замену переменных в уравнении (11.14), упрощающую его:

х = 2βρ.

Получается

. (11.15)

Это уравнение решаем по методу степенного ряда, т. е. ищем решение в виде

(11.16)

Подставляя ряд (11.16) в уравнение (11.15), имеем

(11.17)

Чтобы ряд (11.16) был решением уравнения (11.15), необходимо выполнение pавенства (11.17) при всех значениях х, т. е. обращение его в тождество. А последнее возможно, если сумма коэффициентов при любой степени переменной будет равна нулю.

Выпишем все слагаемые в левой части равенства (11.17), содержащие х^к

(k = 0, 1, 2, ...). В первой сумме это слагаемые с j = k+1, во второй — с сомножителем

(2l+ 2) — также с j = k+1, все остальные члены берем с j = k:

Отсюда вытекает условие, которому должны удовлетворять коэффициенты

ряда (11.16):

Итак, решение уравнения (11.5) найдено: это бесконечный степенной ряд, коэффициенты которого вычисляются по рекуррентной формуле (11.18), а b₀ берется произвольно н играет роль постоянной интегрирования. Но анализ показывает, что ряд (11.16) с коэффициентами (11.18) при х-»оо расходится, и притом настолько быстро, что функция R (r), задаваемая соотношением (11.13), тоже обращается в бесконечность. Поэтому решение в виде бесконечного степенного ряда не удовлетворяет физическим условиям — функция состояния электрона должна быть всюду ограниченной и затухающей на бесконечности.

Решения, удовлетворяющие требованиям ограниченности, можно получить из

бесконечного ряда: часть его (полином некоторой степени п_r) также является решением уравнения (11.4), так как его коэффициенты удовлетворяют рекуррентной формуле. Поэтому обрываем ряд на члене b_nrх^nr, т. е. b_nr/=0, а все последующие коэффициенты: b_nr+1 = 0. С помощью формулы (11.18) имеем условие обрыва ряда:

(11.19)

где n_r = 0, 1, 2, ... иосит название радиального квантового числа.

Далее, как об этом уже говорилось, формула (11.19) приводит к квантованию

энергии. Здесь же покажем; как вычисляются искомые полиномы. Рекуррентная

формула с учетом условия (11.19) приобретает внд

Здесь k — текущий индекс рассчитываемого коэффициента, а n_r — индекс (и степень) старшего члена. Задаваясь произвольным значением коэффициента b₀, для каждого n_r находим все коэффициенты b_к. Записываем полином:

Он определяется двумя параметрами: n_r н l.

Но есть и другой путь. Если подставить значение ρ, найденное из условия обрыва

ряда (11.19), выраженное через главное квантовое число

1/β =n

в уравнение (11.15), то получим уравнение

Оно может быть сведено к известному в математике уравнению Лагерра, а решение

его—полиномы Лагерра L²ⁿ⁺¹_n+l (x)— определяется сравнительно простой в использовании для вычислений полнномообразующей формулой (11.9), приведенной выше.

Понятно, что они с точностью до постоянного множителя совпадают с ранее рассмотренным L^l_nr. (Множитель значения для нас не имеет, так как функции будут

нормироваться.)

Для получения окончательного результата — решения радиального уравнения —

надо перейти к первоначальной переменной r с помощью использованных подстановок:

Отсюда с учетом формул (11.19) и (11.6)

Теперь, предусматривая в решении (11.13) исходного радиального уравнения

(11.4) нормировочный множитель N_nl, имеем окончательно

Эта формула и приведена ранее — (11.8) — с вычисленным нормировочным множителем. Радиальное уравнение решено.