Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку. Эту ось называют осью конечного вращения.

Положение тела с неподвижной точкой относительно некоторой системы отсчета можно полностью определить, если задать на какой-либо неподвижной сфере, описанной из неподвижной точки тела, положение сферической фигуры, скрепленной с этим телом. За сферическую фигуру можно принять любую часть поверхности сферы таким же радиусом, что и радиус неподвижной сферы, который обычно принимают равным единице. За сферическую фигуру можно принять также всю сферу единичного радиуса.

При движении тела вокруг неподвижной точки скрепленная с движущимся телом сфера единичного радиуса движется по неподвижной сфере того же радиуса. Положение сферы полностью определяется заданием на этой сфере дуги большого круга, скрепленной со сферой.

Пусть положение I тела характеризуется дугой большого круга , описанной из неподвижной точки тела, а в положении II – той же дугой, но в другом положении на сфере (рис. 54). Аналогично тому, как находится центр конечного вращения для плоской фигуры при плоском перемещении, найдем точку на сфере в случае тела, имеющего одну неподвижную точку. Для этого соединяем точки с и с дугами большого круга, проведенными из неподвижной точки тела и целиком лежащими на неподвижной сфере. В серединах дуг из точек и проводим сферические перпендикуляры, т.е. дуги большого круга и , касательные к которым перпендикулярны в точках и соответственно касательным дуг и .

Эти перпендикуляры, лежащие на сфере, пересекутся в точке . Из равенства прямоугольных сферических треугольников и , имеющих общий катет и равные катеты и , следует, что гипотенузы этих сферических треугольников тоже равны, т.е. точки и равноудалены от точки .

Аналогично доказывается, что точки и тоже одинаково удалены от точки . Если повернуть заштрихованный сферический треугольник вокруг оси, проходящей через точку и неподвижную точку , то этот треугольник, перемещаясь по сфере, совпадет всеми своими точками с равным ему по трем сторонам сферическим треугольником , так как сферический угол на сфере, на который надо повернуть вокруг дугу до совпадения с дугой , равен сферическому углу на той же сфере, на который надо повернуть дугу до совпадения с дугой .

Итак, путем поворота вокруг оси, перпендикулярной поверхности сферы и проходящей через точку и, следовательно, проходящей также и через центр сферы, где расположена неподвижная точка, тело можно переместить из одного положения в любое другое. Для каждых двух положений тела получаются соответствующая точка и, следовательно, соответствующая ось конечного вращения, проходящая через эту точку и неподвижную точку тела.