Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы

В классической механике состояние частицы задаётся обобщёнными координатами и обобщёнными импульсами. С течением времени их значения непрерывно изменяются и частица описывает траекторию в конфигурационном и в фазовом пространстве. В квантовой механике из-за соотношения неопределённости Гейзенберга состояние частицы нельзя описать с помощью траектории вследствие одновременной неизмеримости координаты и импульса частицы. Это приводит к неразличимости одинаковых частиц.

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, например, электронную систему атома или молекулы. В момент времени t₀ пронумеруем все электроны. Из-за отсутствия траектории электронов принципиально невозможно сохранить их нумерацию в будущий момент времени t. Поэтому в квантовой механике одинаковые частицы физически неразличимы. Это утверждение и составляет смысл принципа тождественности одинаковых частиц.

Для его количественного описания вводится оператор перестановки координат пары частиц:

. (1)

Из принципа тождественности одинаковых частиц следует, что перестановка координат пары частиц является преобразованием симметрии, поэтому оператор перестановки коммутирует с оператором Гамильтона системы , а собственные значения оператора перестановки являются интегралами движения.

Таким образом, перестановочная симметрия, связанная с принципом тождественности одинаковых частиц, приводит к чисто квантовому закону сохранения – сохранению собственных значений оператора перестановки координат пары частиц, – который не имеет аналога в классической механике.

Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц. По определению, действие оператора перестановки состоит в следующем:

. (2)

Собственные значения оператора перестановки находятся из операторного уравнения

. (3)

Подействуем слева на уравнения (2) и (3) оператором и получим

,

откуда (очевидно оператор перестановки эрмитов, поэтому его собственные значения действительны).

Существование двух противоположных по знаку собственных значений оператора перестановки приводит к двум различным видам волновых функций, описывающих системы одинаковых частиц: симметричных и антисимметричных.

Если функция не изменяет знака при перестановке координат пары частиц, т.е. :

, (4)

то она является симметричной относительно перестановки координат пары частиц, а если меняет знак, т.е. :

, (5)

то волновая функция системы является антисимметричной относительно перестановки координат пары частиц.

Закон сохранения собственных значений оператора перестановки состоит в том, что если в данный момент времени состояние системы описывается симметричной (антисимметричной) волновой функцией, то это свойство симметрии состояния будет сохраняться сколь угодно долго.

Симметричные и антисимметричные волновые функции описывают системы, состоящие из двух различных сортов частиц: бозонов (частиц с целочисленным значением спинового числа) и фермионов (частиц с полуцелым спином) соответственно.

Важнейшими примерами бозонов являются кванты физических полей – переносчиков фундаментальных взаимодействий – фотоны, гравитоны, глюоны, промежуточные бозоны, а также ядра с чётным количеством нуклонов и т.д. Примеры фермионов – кварки, нуклоны, электроны, ядра с нечётным числом нуклонов и т.д.

Системы из большого количества одинаковых частиц, бозонов и фермионов, подчиняются различным квантовым статистическим распределениям частиц по энергиям, Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака соответственно, и обладают совершенно различными физическими свойствами. Принцип тождественности одинаковых частиц налагает определённые ограничения на принцип суперпозиции состояний: физический смысл имеют лишь такие линейные комбинации состояний, которые обладают необходимым (для данного сорта частиц) свойством симметрии относительно перестановки координат любой пары частиц.

Принцип Паули

Рассмотрим систему из двух слабо взаимодействующих фермионов. Волновую функцию такой системы можно представить в виде произведения одночастичных состояний

, (1)

где n₁и n₂ – совокупность квантовых чисел, характеризующих два различных квантовых состояния. Функция (1) является частным решением уравнения Шрёдингера. Другим частным решением уравнения Шрёдингера может быть функция

, (2)

которая отличается от функции (1) перестановкой координат пары частиц относительно квантовых состояний n₁ и n₂.

Из принципа тождественности одинаковых частиц следует, что из функции (1) и (2) необходимо «сконструировать» линейные комбинации, обладающие требуемым свойством симметрии относительно перестановки координат пары частиц.

Для системы двух слабосвязанных фермионов, волновая функция системы должна быть антисимметричной

, (3)

где константа находится из условия нормировки.

Очевидно функцию (3) можно представить в виде определителя:

, (4)

который называется определителем Слэтера.

Для системы из N слабо взаимодействующих фермионов определитель Слэтера имеет вид:

. (5)

Если поменять местами (квантовыми состояниями) координаты любой пары частиц, то в определителе Слэтера (5) поменяются местами два столбца и определитель поменяет знак. Поэтому функция (5) является антисимметричной по отношению к перестановке координат любой пары частиц.

Если две частицы находятся в одинаковом квантовом состоянии, то это означает равенство строк определителя и определитель должен быть равен нулю, что означало бы отсутствие системы частиц. Отсюда следует принцип запрета Паули: в системе фермионов в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы.