Потенциальное силовое поле

3.3.5.1. Потенциальное силовое поле и силовая функция

Рис. 3.27

Силовое поле – это часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени (рис. 3.27) Потенциальное силовое поле - student2.ru

Силовое поле называют стационарным, если силы не зависят явно от времени Потенциальное силовое поле - student2.ru Если силы зависят от времени явно Потенциальное силовое поле - student2.ru то поле – нестационарное.

Силовое поле называют потенциальным если имеется силовая функция Потенциальное силовое поле - student2.ru частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Рассмотрим основные свойства силовой функции стационарного поля.

1. Из определения следует, что силовая функция определена с точностью до постоянной Потенциальное силовое поле - student2.ru

2. Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Это свойство силовой функции можно принять за ее определение. Элементарная работа:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

т.е. Потенциальное силовое поле - student2.ru

3. Полная работа силы на каком–либо перемещении точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой совершается это перемещение, если силовая функция является однозначной (рис. 3.28). Полная работа силы Потенциальное силовое поле - student2.ru на перемещении M0M:

Потенциальное силовое поле - student2.ru т.е. Потенциальное силовое поле - student2.ru

Рис. 3.28

4. Из предыдущего свойства следует, что работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому контуру равна нулю, так как значения силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаковы:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

5. Силу Потенциальное силовое поле - student2.ru можно выразить как градиент силовой функции U. По определению:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Учитывая, что:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

получим

Потенциальное силовое поле - student2.ru т.е. Потенциальное силовое поле - student2.ru

Определены условия, которые позволяют по силам силового поля установить, будет ли силовое поле потенциальным. Эти условия имеют вид:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Силы, действующие на материальную точку в потенциальном поле, называются потенциальными. К ним относят: силы тяжести, линейную силу упругости, силу тяготения.

Для механической системы в потенциальном силовом поле силовая функция является функцией координат всех точек системы

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Проекция силы, действующей на каждую точку системы, будет равна

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Если вычислить сумму работ, которую совершают силы поля, действующие на механическую систему при перемещении из положения (M0), в котором силовая функция равна U0, в положение (М), в котором силовая функция равна U, то получим Потенциальное силовое поле - student2.ru

3.3.5.2. Потенциальная энергия

Рис. 3.29

В случае потенциального силового поля вводят функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке силового поля.

Потенциальной энергией П материальной точки в рассматриваемой точке потенциального силового поля М (рис. 3.29) называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки М в начальную точку M0:

Потенциальное силовое поле - student2.ru или Потенциальное силовое поле - student2.ru где C=const.

Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной Потенциальное силовое поле - student2.ru

Проекции силы на координатные оси имеют вид:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Элементарная и полная работа силы в потенциальном силовом поле:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Потенциальной энергией системы P в рассматриваемом положении (М) потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершают при перемещении системы из рассматриваемого положения в начальное положение (M0):

Потенциальное силовое поле - student2.ru

где U – значение силовой функции в положении (М); U0 – значение силовой функции в начальном положении (M0).

Проекции силы, действующей на каждую точку системы, на координатные оси имеют вид:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Элементарная и полная работа сил поля:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

3.3.5.3. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии точки. Для материальной точки, согласно теореме об изменении кинетической энергии, справедливо уравнение

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Если точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Следовательно,

Потенциальное силовое поле - student2.ru или Потенциальное силовое поле - student2.ru

Обозначая через Е полную механическую энергию точки, получаем

Потенциальное силовое поле - student2.ru

Закон сохранения механической энергии для точки. При движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.

Закон сохранения механической энергии системы. Теорему об изменении кинетической энергии для системы можно представить в виде

Потенциальное силовое поле - student2.ru

При движении системы в стационарном потенциальном силовом поле:

Потенциальное силовое поле - student2.ru

где П – потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на систему. Следовательно,

Потенциальное силовое поле - student2.ru или Потенциальное силовое поле - student2.ru

Последняя формула выражает закон сохранения механической энергии для системы.

Закон сохранения механической энергии для системы. Полная механическая энергия при движении системы в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является величиной постоянной.

Механические системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Наши рекомендации