Уравнение бернулли для потока вязкой жидкости

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку вязкой жидкости, имеющему конечные размеры и огра­ниченному стенками, необходимо будет учесть, во-первых, неравно­мерность распределения скоростей по сечению и, во-вторых, потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жид­кости.

При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, напри­мер в трубе, происходит (торможение потока вследствие влияния вязкости, а также в результате действия сил молекулярного сцеп­ления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшей величины скорость достигает в центральной части потока; по мере прибли­жения к стенке скорость уменьшается практически до нуля. Полу­чается распределение скоростей, подобное тому, которое показано на рис. 28.

Неравномерное распределение скоростей означает скольжение (сдвиг) одних слоев или частей жидкости по другим, вследствие чего возникают касательные напряжения, т.е. напряжения тре­ния. Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованиями и перемешиванием. Все это требует затраты энергии, поэтому удельная энергия движущей­ся вязкой жидкости (полный напор) не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодо­ление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока.

Прежде чем приступить к рассмотрению уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости сделаем следующее допущение: будем считать, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики, т. е., гидростатиче­ский напор есть величина одинаковая для всех точек данного сечения:

Тем самым мы предполагаем, что при движении жидкости от­дельные струйки оказывают друг на друга в поперечном направле­нии такое же давление, как слои жидкости в неподвижном состоя­нии. Это будет соответствовать действительности и может быть до­казано теоретически в том случае, когда течение в данных попе­речных сечениях является параллельноструйным. Поэтому именно такие (или близкие к ним) поперечные сечения мы и будем рас­сматривать.

Введем понятие мощности потока. Мощностью потока в данном сечении будем называть полную энергию, которую проносит поток через это сечение в единицу времени. Так как в различных точках поперечного сечения потока частицы жидкости обладают различ­ной энергией, то сначала выразим элементарную мощность, т.е. мощность элементарной струйки, в виде произведения полной удельной энергии жидкости в данной точке на элементарный весо­вой расход:

Мощность всего потока найдется как интеграл от предыдущего выражения по всей площади S, т. е.

или, учитывая сделанное допущение,

Найдем среднее по сечению значение полной удельной энергии жидкости делением полной мощности потока на весовой расход. Используя выражение, будем иметь

Умножив и разделив последний член на u_ср² , получим

где a — безразмерный коэффициент, учитывающий неравномер­ность распределения скоростей равный

Для обычного распределения скоростей коэффици­ент a всегда больше единицы, а при равномерном распределении скоростей равен единице.

Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обо­значим средние значения удельной энергии (полного напора) жид­кости в этих сечениях соответственно Н_ср1 и Н_ср2; тогда

где Sh—суммарная потеря удельной энергии (напора) на участ­ке между рассматриваемыми сечениями.

Используя формулу (4.16), предыдущее уравнение можно пере­писать так:

Это и есть уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости. От аналогичного уравнения для элементарной струйки идеальной жид­кости полученное уравнение отличается членом, представляющим собой потерю удельной энергии (напора), и коэффициентом, учи­тывающим неравномерность распределения скоростей. Кроме того, скорости, входящие в это уравнение, являются средними по сече­ниям.

Уравнение Бернулли применимо не только для жидко­стей, но и для газов при условии, что скорость их движения значи­тельно меньше скорости звука.

Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии, то для реального потока оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь. Энергия, теряемая жидкостью на рассматриваемом участке течения превращается в другую форму—тепловую. Правда, тепловая энер­гия непрерывно рассеивается, поэтому повышение температуры часто бывает практически мало заметным. Этот процесс преобра­зования механической энергии в тепловую является необратимым, т. е. таким, обратное течение которого (превращение тепловой энергии в механическую) невозможно.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жид­кости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется гидравлическим уклоном. Изменение удельной потенциальной энер­гии жидкости, отнесенное к единице длины, называется пьезомет­рическим уклоном. Очевидно, что в трубе постоянного диаметра с неизменным распределением скоростей указанные уклоны оди­наковы.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ (ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ)

Потери удельной энергии (напора) или, как их часто называют, гидравлические потери зависят от формы, размеров и шерохова­тости русла, от скорости течения и вязкости жидкости, но прак­тически не зависят от абсолютного значения давления в жидкости. Вязкость жидкости, хотя и является первопричиной всех гидравли­ческих потерь, сама по себе далеко не всегда оказывает сущест­венное влияние на величину потерь.

Как показывают опыты, во многих случаях гидравлические по­тери приблизительно пропорциональны квадрату скорости, поэтому в гидравлике с давних времен принят следующий общий способ выражения гидравлических потерь полного напора в линейных еди­ницах:

или в единицах давления

Такое выражение удобно тем, что включает в себя безразмер­ный коэффициент пропорциональности z, называемый коэффициен­том сопротивления, и скоростной напор, входящий в уравнение Бернулли.

Коэффициент сопротивления таким образом, есть отноше­ние потерянного напора к скоростному напору.

Гидравлические потери обычно подразделяют на два вида: мест­ные потери и потери на трение.

Местные потери энергии обусловлены так называемыми мест­ными гидравлическими сопротивлениями, т. е. местными измене­ниями формы и размеров русла, вызывающими деформацию по­тока. При протекании жидкости через местные сопротивления про­исходят изменения ее скорости и обычно возникают вихреобразования.

Примерами местных сопротивлений могут служить различные устройства, например вентиль.

Местные потери энергии определяют по формуле

или

Последнее уравнение часто называют формулой Вейсбаха.

Здесь u — средняя по сечению скорость в трубопроводе, в кото­ром установлено данное местное сопротивление. Если же диаметр трубопровода и, следовательно, скорость в нем меняются по длине, то за расчетную скорость удобнее принимать большую из скоро­стей, т. е. ту, которая соответствует меньшему диаметру трубопро­вода. Каждое местное сопротивление характеризуется своим зна­чением коэффициента сопротивления z_М, которое во многих случаях приближенно можно считать постоянным для данной формы мест­ного сопротивления.

Потери на трение, или потери по длине — это потери энергии, которые в чистом виде возникают в прямых трубах постоянного сечения, т. е. при равномерном течении, и возрастают пропорцио­нально длине трубы. Этот вид потерь обусловлен внутренним трением в жидкости, а потому он имеет место в трубах со сколь угодно малой шероховатостью стенок.

Потерю напора на трение можно выразить по общей формуле для гидравлических потерь, т. е.

однако удобнее будет коэффициент z_тр связать с относительной длиной трубы l/d.

Возьмем участок круглой трубы длиной, равной ее диаметру, и обозначим коэффициент его сопротивления через l. Тогда для всей трубы длиной l и диаметром d коэффициент сопротивле­ния будет в l/d раз больше, т. е.

и формула примет вид

или

Формулу (4.20) обычно называют формулой Дарси. Безразмерный коэффициент l условимся называть коэффици­ентом потерь на трение или коэффициентом сопротивления трения. Его можно рассматривать как коэффициент пропорциональности между потерей напора на трение, с одной стороны, и произведе­нием относительной длины трубы на скоростную высоту, с другой стороны.

Коэффициент l есть величина, пропорциональная отношение напряжения трения на стенке трубы к динамическому давлению, подсчитанному по средней скорости.

Гидравлические потери в напорных потоках происходят за счет уменьшения вдоль потока удельной потенциальной энергии жидкости z+ p/g. Удельная кинетическая энергия жидкости u²/2g в этом случае если и меняется вдоль потока при заданном расходе, то не за счет потерь энергии, а вследствие изме­нения размеров поперечного сечения русла, так как она зависит только от скорости, а скорость определяется расходом и площадью сечения

Следовательно, в трубе постоянного сечения средняя скорость и удельная кинетическая энергия остаются строго постоянными, несмотря на наличие гидравлических сопротивлений и потерь на­пора.

Расчет гидравлических потерь для различных конкретных слу­чаев представляет собой один из основных вопросов гидравлики.