Показатели взаимосвязи количественных переменных

Для ориентировочной оценки тесноты связи между двумя статистическими показателями используются следующие коэффициенты.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера (i)

Определяется сопоставлением знаков отклонений x и y от их средних и подсчетом числа случаев совпадения и несовпадения знаков.

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

где u – число пар с одинаковыми знаками отклонений от средних, v – число пар с разными знаками отклонений от средних.

-1 < i < +1.

Если i близок к +1, то – тесная прямая связь.

Если i близок к -1, то – тесная обратная связь.

Если i близок к 0, то – связи нет.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (ρ)

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

где n – число рангов, Rx – ранг показателя x, Ry – ранг показателя y.

Если среди значений рангов по уровням встречаются одинаковые, то образуются одинаковые средние номера. Например, вместо одинаковых по порядку третьего и четвертого значений ряда будут два ранга по 3,5.

Если ρ близок к +1, то – тесная прямая связь.

Если ρ близок к -1, то – тесная обратная связь.

Если ρ близок к 0, то – связи нет.

Линейный коэффициент корреляции (rxy)

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

где σx и σy – среднее квадратическое отклонение x и y соответственно.

-1 < rxy < +1.

Если |rxy|≥0,7 – связь сильная,

если 0,5≥|rxy|<0,7 – связь средняя,

если |rxy|<0,5 – связь слабая.

При сильной и средней связи, если rxy >0, то связь прямая, иначе – обратная.

Пример 11.1. Зависимость между затратами производства (X, тыс. руб.) и прибылью (Y, тыс. руб.) 10 малых предприятий района за неделю характеризуется следующими данными.

n X Y
90,53 93,21
90,22 93,80
99,41 100,32
99,68 103,08
95,11 97,12
95,40 99,64
94,24 95,88
98,35 101,00
96,34 97,42
99,34 100,36

Определить тесноту связи между затратами производства и прибылью малых предприятий.

n X Y X- Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru Y- Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru Совп Rx Ry Rx-Ry (Rx-Ry)2 (X- Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru )2 (Y- Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru )2 ()()
90,53 93,21 -5,33 -4,97 + 28,43 24,73 26,52
90,22 93,8 -5,64 -4,38 + -1 31,83 19,21 24,73
99,41 100,32 3,55 2,14 + 12,59 4,57 7,58
99,68 103,08 3,82 4,90 + 14,58 23,98 18,70
95,11 97,12 -0,75 -1,06 + 0,57 1,13 0,80
95,4 99,64 -0,46 1,46 - -1 0,21 2,12 -0,67
94,24 95,88 -1,62 -2,30 + 2,63 5,30 3,74
98,35 2,49 2,82 + -2 6,19 7,94 7,01
96,34 97,42 0,48 -0,76 - 0,23 0,58 -0,36
99,34 100,36 3,48 2,18 + 12,10 4,74 7,57
Итого 958,62 981,83 - -   - - - 109,35 94,30 95,60

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru , Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

u=8, v=2.

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru – связь средняя прямая.

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru – связь тесная прямая.

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Следовательно, связь между затратами производства и прибылью малых предприятий района сильная и прямая.

Основные виды взаимосвязей между показателями. Показатели взаимосвязи качественных переменных

См 32 вопрос.

Определение параметров парной линейной регрессии

Наиболее простой случай корреляционной зависимости является парная корреляция – зависимость между двумя признаками (y и x). Уравнение такой связи называется парной линейной регрессией:

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

где y – зависимая переменная, x – факторный признак, α – свободный коэффициент уравнения, β – коэффициент регрессии: показывает, на сколько изменится среднее значение y ( Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ) при увеличении x на единицу.

Графическое представление парной линейной регрессии.

Парная регрессия легко определяется по графическому изображению реальных статистических данных в виде точек (корреляционное поле или диаграмма рассеивания).

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Рис. 11.1. Графическое представление линии парной регрессии с МНК-параметрами

Метод наименьших квадратов.

Параметры α и β рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК) по данным об n значениях признаков x и y. Исходное условие МНК для парной регрессии имеет вид:

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

То есть МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от расчетных (теоретических) минимальна.

Чтобы найти минимум этой функции необходимо вычислить производные по каждому из параметров α и β и приравнять их к нулю:

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru Þ Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Если первое уравнение разделить на n, то получится:

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru Þ Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Решая систему уравнений далее, находится коэффициент регрессии β:

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

где Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru - среднее значение x, Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru - среднее значение y, Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru - среднее значение произведения xy, Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru - дисперсия показателя x.

Пример 11.2. По данным примера 11.1. определить параметры и построить график уравнения парной линейной регрессии, определить тесноту связи с помощью парного коэффициента корреляции.

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru , Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru ,

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Тогда уравнение регрессии будет Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru .

Показатели взаимосвязи количественных переменных - student2.ru

Рис. 11.2. Уравнение парной регрессии и фактические данные

Наши рекомендации