Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи.

Теоретические сведения.

При определении напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи лежит положение о том, что в произвольной точке М грунтового полупространства появляется радиальное напряжение σR величина которого пропорциональна cos β и обратно пропорциональна квадрату расстояния R2 от точки приложения сосредоточенной силы P ( рис.1.1.)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru

Рис. 1.1. Распределение напряжений при действии сосредоточенной силы в случае пространственной задачи.

Из рисунка 1.1. и с учетом коэффициента А, определяемого из условия равновесия получаем :

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.1)

где Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.2)

Проецируя далее σR из точки М(z,y,x) сначала на площадку , параллельную ограничивающей полупространство плоскости XOY, а затем на три направления , параллельные осям OZ, OX и OY , получим соответствующие величины составляющих напряжений (рис.1.2.):

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.3)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.4)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.5)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru

Рис.1.2. Радиальное напряжение в линейно деформируемом полупространстве от сосредоточенной силы.

Для других площадок параллельных плоскостям XOZ и YOZ, а также в случае неоднородного грунтового основания все компоненты напряжений будут зависеть от коэффициента Пуассона ν. Тогда дополнительно имеем:

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.6)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.7)

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.8)

Так как положение точки М полностью определяется ее глубиной z и расстоянием от оси OZ, поэтому формулу (1.3) представляют в виде:

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.9)

где Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.10)

Если к поверхности полупространства приложено несколько сосредоточенных сил, то напряжение σZ в расчетной точке М, расположенной на глубине z, определяется как сумма напряжений от действия каждой силы в отдельности:

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.11)

где n- количество сосредоточенных сил.

На практике давление на грунтовое основание от веса сооружения реализуется обычно не в точке, а через площадку, которая имеет определенное очертание в зависимости от вида инженерного сооружения. Поэтому в расчетах принимают прямоугольную площадку, длина которой не должна более чем в три раза принимать ее ширину. Возникающие в грунтовом основании напряжения находят с помощью специальных расчетных графиков(приложения рис П.1.,П.2.,П.3.) или таблиц по следующим формулам:

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.12)

где σz - вертикальные, σx σy- горизонтальные нормальные напряжения

νx μz εy – переходные коэффициенты, определяемые по графикам.

P0- интенсивность равномерно распределенной нагрузки, приложенной в пределах прямоугольной площадки шириной 2b и длиной 2a.

Напряжение в любой точке основания с любыми произвольными координатами может быть найдено как сумма угловых напряжений для прямоугольников, сходящихся в одной в данной точке и имеющих в ней общий угол ( метод угловых точек).

Для площадок под центром загруженного прямоугольника максимальное сжимающее напряжение определяется:

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru (1.13)

где Кс- табличный коэффициент определяемый по таблице 1.1

Таблица 1.1.- Значения коэффициента Кс для непосредственного определения максимальных сжимающих напряжений под центром загруженного прямоугольника.

β=z/b Отношение сторон прямоугольника α= L/b  
1,5 Плоская задача
0,25 0,898 0,904 0,908 0,912 0,934 0,940 0,960 0,96
0,50 0,696 0,716 0,734 0,762 0,789 0,792 0,820 0,82
1,00 0,336 0,428 0,479 0,500 0,518 0,522 0,549 0,55
1,50 0,194 0,257 0,288 0,348 0,360 0,373 0,397 0,40
2,00 0,114 0,157 0,188 0,240 0,268 0,279 0,308 0,31
3,00 0,058 0,076 0,108 0,147 0,180 0,188 0,209 0,21
5,00 0,008 0,025 0,040 0,076 0,096 0,106 0,129 0,13

Задание №1.

На поверхности грунтового массива приложена сосредоточенная сила Р. Определить вертикальное напряжение в точке М, возникающее только от действия силы Р без учета собственной силы тяжести грунта. Точка М расположена на глубине z от поверхности и на расстоянии r в стороне от вертикальной линии действия силы.

Таблица 1.2- Исходные данные.

№ п/п Р, МН Z, м r, м № п/п Р, МН Z, м r, м
0,1 0,1 1,5 1,1 0,8
0,2 1,2 0,2 1,6 1,3 0,9
0,3 1,4 0,3 1,7 1,5
0,4 1,6 0,4 1,8 1,7 1,1
0,5 1,8 0,5 1,9 1,9 1,2
0,6 0,6 2,1 1,3
0,7 2,2 0,7 0,1 2,3 1,4
0,8 2,4 0,8 0,2 2,5 0,1
0,9 2,6 0,9 0,3 2,7 0,2
2,8 0,4 2,9 0,3
1,1 1,1 0,5 3,1 0,4
1,2 3,2 1,2 0,6 3,3 0,5
1,3 3,4 1,3 0,7 3,5 0,6
1,4 3,6 1,4 0,8 3,7 0,7

Задание №2. Определить величину максимального сжимающего , вертикального и горизонтальных напряжений в точке М для условий объемной задачи под углом площадки размером a×b на глубине z от поверхности при удельной нагрузке Р0=0,5 МПа. (схема а рис 1.3), Р0=0,8 МПа (схема б,рис 1.3).

Таблица 1.3- Исходные данные.

№ п/п а, м b, м z, м № п/п а, м b, м z, м
17,5
21,5
16,5
22,5
15,5
23,5
14,5
24,5
13,5
19,5 12,5
18,5 11,5

Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru Определение напряжений в грунтовом полупространстве от сосредоточенной силы для пространственной задачи. - student2.ru

схема а схема б

Рисунок 1.3. Схема разбивки прямоугольной площадки загрузки.

Практическая работа №2.

Наши рекомендации