Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Пространственная система сил, в которой линии действия составляющих сил расположены произвольно, т. е. линии их действия могут не пересекаться и находиться в разных плоскостях, называется произвольно расположенной системой сил.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Строгое обоснование приведенного выше условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил требует знания некоторых вопросов, не предусмотренных программами учреждений среднего профессионального образования, поэтому условие равновесия такой системы здесь приводится без доказательства.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

  • ΣX = 0; ΣMx(Fi) = 0;
  • ΣY = 0; ΣMy(Fi) = 0;
  • ΣZ = 0; ΣMz(Fi) = 0.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно-перпендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.
Если система сил, приложенных к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и трех вращений тела под действием сил системы исключена, поэтому тело будет находится в равновесии.

Очевидно, что все выведенные ранее условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справедливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть уравнений равновесия составить для одних осей координат, а часть – для измененных. В некоторых случаях этот прием упрощает решение задач.

***

Теорема о моменте равнодействующей относительно оси
(теорема Вариньона)

Теорема: момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой же оси.

Пусть даны пространственная система n произвольно расположенных сил, приложенных к телу, и равнодействующая этой системы сил FΣ (см. рисунок 4):

Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru

(F1, F2, F3,....Fn) ≡ FΣ.

Приложим к телу другую систему сил, равнодействующая которой F’Σ по модулю равна FΣ и направлена по той же линии действия, но в противоположную сторону, т. е. является уравновешивающей данной системы сил.
Тогда можно записать:

(F1, F2, F3,....Fn, F’Σ) ≡ 0 , или (FΣ, F’Σ) ≡ 0.

Так как обе записанные выше системы сил эквивалентны нулю, т. е. уравновешены, то к ним можно применить любое условие равновесия, например

ΣMx(Fi) = 0.

Запишем это условие для обеих систем:

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F2) + .... + Mx(Fn) + Mx(F’Σ) = 0;
MΣ(FΣ) + Mx(F’Σ) = 0.

Так как правые части этих равенств равны, то будут равны и левые :

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F3) + .... +Mx(Fn) + Mx(F’Σ) = Mx(FΣ) + Mx(F’Σ).

Сократив общее слагаемое Mx(F’Σ), получим:

Mx(F1) = Mx(F2) + Mx(F3) + .... +Mx(Fn) = Mx(FΣ) или ΣMx(Fi) + Mx(FΣ).

Теорема доказана.

Центр тяжести это: геометрическая точка, неизменно связанная с твердым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле.

Координаты центра масс определяются формулами: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru У однородных симметричных тел центр масс располагается в геометрическом центре тела: у круга (сферы) в его центре, у треугольника — в точке пересечения медиан, у прямоугольника — в точке пересечения диагоналей.

Механическая система всегда находится в равновесии относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого тела или механической системы в то время, как центр тяжести — только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс системы, если радиус первого шара 5 см, радиус второго шара 7 см, а длина стержня 30 см.
Решение Выполним рисунок. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Запишем условие равновесия системы относительно оси, проходящей через ее центр масс Моменты, созданные силами тяжести:Подставим значения моментов в условие равновесия:Переведем единицы в систему СИ: см м; см м. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Вычислим:  
Ответ Центр тяжести системы находится на расстоянии 5 см от середины стержня в сторону большего шара.


Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru

Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru

ВЕРНУТЬСЯ Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O1x1y1z1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru ; Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru и т.д., Þ: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru ; Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – относительная скорость. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru ; переносная скорость: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (ve) и относительной (vr) скоростей Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , модуль: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru : 1) Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – ускорение полюса О; 2) Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru 3) Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – относительное ускорение точки; 4) Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , получаем: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – ускорение полюса О; Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – вращательное уск., Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – осестремительное уск., т.е. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , где Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: ас= 2×|we×vr|×sin(we^vr), направление вектора Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90о в направлении вращения. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) we=0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) vr=0; 3) sin(we^vr)=0, т.е. Ð(we^vr)=0, когда относительная скорость vr параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между vr и вектором we = 90о, sin90o=1, ас=2×we×vr. Сложное движение твердого тела Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f1(t); q=f2(t); j=f3(t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловая скорость прецессии Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , угл. скорость нутации Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , угл. ск. собственного вращения Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей. 1) Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Вращения направлены в одну сторону. w=w2+w1, С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось вращения, Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . 2) Вращения направлены в разные стороны. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru , w=w2—w1 Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru . Векторы угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складываются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращений – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru – пара угловых скоростей). В этом случае vA=vB, результирующее движение тела – поступательное ( или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=w1×AB – момент пары угловых скоростей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений. 1) Скорость поступательного движения ^ к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью w=w'. 2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. w и поступательного со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и w в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и w постоянны, то h= Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru =const, при постоянном шаге любая (×)М, не лежащая на оси винта описывает винтовую линию. Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил - student2.ru направлена по касательной к винтовой линии. 3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.

Иметь представление о свободных и несвободных материаль­ных точках, о силах инерции, об использовании силы инерции для решения технических задач.

Знать формулы для расчета силы инерции при поступатель­ном и вращательном движениях, знать принцип Даламбера и уметь определять параметры движения с использованием законов динамики и метода кинетостатики.

Наши рекомендации