Применение средней гармонической

Один рабочий в течение дня затрачивает на изготовление одной детали 2 минуты, второй - 8 минут, третий - 6 минут. Определить средние затраты времени на изготовление одной детали.

Средние затраты времени на 1 деталь = все время/все детали

x=n/Σ(1/x)= (1+1+1)/(1/2+1/4+1/6)=3/(19/24)=3,8 мин.

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые вытекают из самой формулы этой величины: х=Σx·f/Σf

1. Сумма отклонений индивидуального значения признака равна нулю.

Σ(x_i-x)·f_i=0

2. Средняя постоянная величины равна самой величине

3. От уменьшения или увеличения всех вариантов осредняемой величины в a раз, величина средней уменьшается или увеличивается в а раз.

x_i*=a·x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σax_i*f_i/Σf_i=a/Σf_i·Σx_if_i=a·x

4. От уменьшения или увеличения всех значений усредненного признака на величину а их средняя уменьшается на величину а.

x_i*=a±x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σ(a±x_i)*f_i/Σf_i=Σx_if_i/Σf_i±Σaf_i/Σf_i=x±a

5. От увеличения или уменьшения веса каждого варианта в А раз величина средней не изменится

f_i*=f_i/A

x*=Σx_i·(f_i*/A)/(Σf_i/A)= Σx_if_i/Σf_i=x

6. Величина средней зависит не от самих абсолютных значений весов отдельных вариантов признаков, а от пропорций между ними. (Это свойство подчеркивает вклад каждого признака в значение средней).

На основании этого свойства при исчислении средних величин можно использовать можно использовать не абсолютное значение весов (частот), а их относительное значение (частость, доля, т.е. удельный вес признака в общем объеме совокупности).

p_i=f_i/Σf_i

x=(Σx_i·p_i)/100% Σp_i=100%

или

x=Σx_i·p_i Σp_i=1 (доля)

7. Средняя величина, умноженная на объем совокупности, равна сумме произведений значений признака на частоту.

Σx_i*f_i=x_iΣf_i

8. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любой другой величины.

Σ(x_i-x)²f_i<Σ(x_i-B)²f_i

Σ(x_i-x)²<Σ(x_i-B)²

Σ(x_i-B)²f_i-Σ(x_i-x)²f_i =(x_i-B)²Σf_i

Σ(x_i-B)²-Σ(x_i-x)²=n(x_i-B)²

5. Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента)

Свойства средней арифметической применяются для расчета средних упрощенным способом.

Схема расчета средней методом момента.

1) Если возможно, уменьшаются веса вариантов в А раз

2) Выбирается начало отсчета или условный нуль. За условный нуль принимают значение признака, находящееся в середине ряда распределения или вариант (интервал с наибольшей частотой)

3) Находится отклонение вариантов от условного нуля

4) Если эти отклонения имеют общий множитель, то их делят на него

5) Вычисляют условную среднюю:

x'=[{Σ(x-x₀)/k}*f]/Σf

6) Корректирует условную среднюю

x=x'*k+x₀

x' - момент первого порядка

(x-x₀)/k - измененный вариант признака

Пример: Поиск условной средней. Даны группы магазинов по размеру товарооборота (в тыс. руб. в месяц)

Группы	Середина интервала [x]	Количество магазинов [f]	x₀=95 x-x₀	(x-x₀)/k=x'	(x-x₀)/k*f
до 70			-30	-3	-45
70,1-80,0			-20	-2	-34
80,1-90,0			-10	-1	-13
90,1-100,0
100,1-110,0
110,1-120,0
120,1-130,0
130,1-140,0
свыше 140
ИТОГО	-		-	-	-12

Определить средний размер товарооборота.

x'=(Σ(x-x₀)/k)/Σf=-12/100=-0,12

x=x'*k+x₀=-0,12*10+95=93,8 (тыс. руб.)

Структурные средние (мода, медиана, дециль, квартиль)

Мода и медиана

Мода и медиана - две особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов. Они называются структурными средними и дают некоторое представление о структуре изучаемой совокупности.

При нормальном распределении мода, медиана и средняя совпадают по величине.

Мода и медиана, в отличие от средней, не связаны со всеми значениями признака.

Мода - значение признака наиболее часто встречающееся в ряду распределения или вариант с наибольшей частотой. Мода представляет собой наиболее типичное значение случайной величины.

Для отыскания моды в статистической совокупности необходимо знать распределение единиц совокупности по вариантам признака.

В дискретном вариационном ряду распределения мода определяется визуально, т.е. на глаз.

Оценка
количество студентов

М₀=4 f_M0=12

При наличии одной моды в ряду распределения распределение называется унимодальным. В ряду распределения может оказаться 2 и более моды. При этом ряд распределения называется соответственно бимодальным и мультимодальным.

Наличие нескольких мод часто означает объединение в одной совокупности разнокачественных единиц и возможность (необходимость в отдельных случаях) разделения последних на подгруппы.

Определение мод в интервальном ряду распределения

В равно интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

M₀=x₀+d[(f_M₀-f_M_0-1)/{(f_M₀-f_M_0-1)+(f_M₀-f_M₀₊₁)}]

x₀- нижняя граница модального интервала

d - величина интервала

f_M₀ - частота модального интервала

f_M_0-1 - частота интервала, предшествующий. модальному.

f_M₀₊₁- частота интервала, следующего за модальным

х	f
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
Итого

М₀=5+5(22-8)/[(22-8)+(22-12)]=7,9

После произведения расчетов необходимо проверить, попала ли мода в необходимый интервал.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного (упорядоченного) ряда. Она делит ряд на 2 равные по объему части. По разному определяется для дискретного и интервального рядов распределения.

Определение медианы в дискретном ряду распределения