Математическое моделирование. Сущность понятия

Под математическим моделированием с дошкольни­ками понимается организация педагогом эвристически ориентированного процесса создания ребенком моделей посредством простейших плоскостных и пространствен­ных математических абстракций. С этой точки зрения технологии математического моделирования делятся на виды в соответствии с авторскими подходами исследователей.

Так, согласно ЗА. Михайловой, технологии можно классифицировать по логике действий, вьделяя: мате­матические развлечения; логические игры, задачи, упраж­нения; дидактические игры и упражнения. Технологии, описанные Б.П. Никитиным, классифи­цируются на два типа по уровню продуктивности ум­ственного развития: основанные на подражании и на эв­ристическом познании закономерностей моделей.

Классифицировать технологии математического мо­делированияс дошкольниками можно следующим образом.

1. По теоретико-множественному смыслу:

—нахождение целого заданной инвариантной формы как объединения различных серий классов его разбиения;

— нахождение целого дискретно меняющейся формы как объединения константных классов разбиения заданной исходной формы.

2. По пространственной ориентации:

—плоскостное моделирование на базе разрезания прямоугольника;

—пространственное моделирование на базе разреза­ния прямоугольного параллелепипеда;

—на базе материалов, допускающих непрерывные де­формации (обладающих топологическими свой­ствами);

—на базе классического оригами и флексатонов.
В контексте нашей тематики моделирование, с одной стороны, является ступенью для развития конструктор ских навыков детей, с другой — основой для творческого процесса модификации исходной конструкции на более высоком логико-схематическом уровне.

Как отмечает Е.В. Соловьева, в младшем дошкольном возрасте (от 1,5 до 3—4 лет) в развитии ребенка на первый план выступает процесс образования собственной цели деятельности в среднем возрасте (от 3—4 до 5 лет) — процесс активного овладения различными способами деятельности. После 4 лет действия ребенка приобретают направленность на конечный результат. Поел 4,5 лет отмечается скачок интереса к разнообразной познавательной информации — буквам, цифрам, сенсорным эталонам, чтению. В старшем возрасте (5—7 лет) ребенок стремится уже не только подражать взрослым в их деятельности, а по мере сил участвовать в ней, правильно понимая конечные цели. Он учится давать оценку полученному результату, сравнивая его с эталоном, представленны в форме наглядного изображения или реального образца. Дошколь­ник осуществляет достаточно произвольный контроль за ходом де­ятельности в процессе получения промежуточных результатов, о заинтересован в реальном результате, который может оценить сам, соотнося его с эталоном.

С этих позиций процесс математического моделирования позво­ляет проследить логику развития познавательных способностей ребенка:

—овладение навыками непосредственного замещения чаете; схем моделей реальными предметами — в младшем возрасте;

—освоение действий по использованию готовых моделей — в среднем возрасте;

—освоение действий по самостоятельному построению моделей по схемам и конструированию новых моделей и их схем — в старшем дошкольном возрасте.

Как показывают исследования Л.А. Венгера, З.А. Михайловой, Б.П. Никитина, Н.Н. Подцьякова и других ученых, знание логики развития познавательных способностей ребенка позволяет педа­гогу:

— наблюдая за действиями детей в ходе моделирования и кон­струирования, видеть определенный этап их развития;

— давать качественный анализ детской деятельности, стимули­рующий к поиску новых форм, методов, приемов, матери­алов для дальнейшего успешного математического моделиро­вания.

Исследователь ЕЛ. Пороцкая подчеркивает, что дошкольное детство — сензитивный период для развития познавательных способностей. По мнению А.Н. Давидчук, математическое модели­рование — важная часть умственного воспитания детей, направленная на развитие сферы познания.

Особенное значение для развития познавательной сферы ребенка имеют сенсорные способности,проявляющиеся в области воспри­ятия предметов и их свойств. В контексте математического модели­рования с дошкольниками важно осуществлять три вида действий по использованию сенсорных эталонов:

—идентификацию, как установление тождества какого-либо качества воспринимаемого объекта эталону;

—соотнесение предмета с эталоном, не решаемое простым на­ложением;

—перцептивное моделирование как воссоздание воспринима­емого качества из материала эталона.

Указанные действия сначала совершаются во внешнем плане: дети прикладывают, накладывают предметы друг на друга, обводят пальцем. В дальнейшем они переходят во внутренний план, совер­шаются «в уме».

Кроме сенсорных, в структуру умственного развития дошколь­ника входят интеллектуальные способности,необходимые для ре­шения различных задач, т.е. связанные с мышлением. В основе их развития лежат действия наглядного моделирования. Их такжевыделяют три типа:

—действия замещения (в младшем и среднем возрасте — реаль­ные предметы, в старшем возрасте — условные обозначения);

—использование готовых моделей (модель дает взрослый, ре­бенок с ее помощью решает интеллектуальную задачу);

—действия детей по построению моделей.

В дошкольный период интенсивно развиваются творческие спо­собности,связанные с воображением, направленным на решение определенной задачи. Воображение продуктивно, оно расширяет действительность, опредмечивает ее; у детей с высоко развитым воображением продукты деятельности оригинальны. В рамках тех­нологий математического моделирования формирование творчес­ких способностей детей опирается на действия символизации и де­тализации, обогащающие результаты их творчества.

Развитие составляющих познавательных способностей, сенсорных, интеллектуальных и творческих, идет по двум направлениям: услож­нение действий по использованию средств решения задач и изме­нение данных средств. Таким образом, процесс развития познаватель­ных способностей дошкольника в рамках математического модели­рования можно рассматривать в определенной логике (табл. 3).

Таблица 3 Логика развития познавательных способностей дошкольника

Возраст	Способности
	сенсорные	интеллекту­альные	творческие
Младший	Идентификация частей моде­ли с сенсорными эталонами	Замещение	Опредмечи­вание
Средний	Соотнесение готовой модели с эталоном	Манипулирова­ние готовыми моделями	Символиза­ция
Старший	Моделирующая перцепция	Создание моде­лей	Детализация

Согласно исследованиям П.Я. Гальперина, Л.Ф. Обуховой, Т.В. Тарунтаевой, Д.Б. Эльконина и других, развитие умственных действий про­исходит успешно в процессе овладения детьми средствами выделения существенных отношений, лежащих за их непосредственным воспри­ятием. Математическое моделирование — одно из таких средств. Усва­ивая способы использования моделей, дети открывают для себя область математических отношений на уровне таких важных понятий, как число, величина, форма, количество, порядок, классификация, сериация.

По нашему мнению, процесс математического моделирования с детьми основан на применении плоскостных, пространственных, топологических технологий, разработанных на основе логико-ма­тематических конструкторских игр, математических головоломок. При этом важный фактор эффективности данного процесса — наличие преемственной связи в развитии навыков математического моделирования в ДОУ и начальной школе.

Приведем типы задач,которые могут решить учащиеся началь­ной школы на базе развития навыков математического модели­рования в дошкольном возрасте. Они составлены нами на осно­ве анализа преемственной связи действующих образовательных программ для детского сада и начальной школы и могут служить диагностическими ориентирами, выявляющими уровень развития математических представлений дошкольников.

1. Определить, из каких простейших геометрических фигур со­стоит изображенная на чертеже фигура; сколько в ее составе прямоугольников, треугольников, кругов, квадратов.

2. Построить орнамент из геометрических фигур.

3. Определить, являются ли фигуры, изображенные на рисунке, симметричными относительно данной оси.

4. Построить фигуру, симметричную данной, относительно заданной оси симметрии.

5. Определить, на сколько (во сколько раз) площадь одной фигуры больше площади другой с помощью разбиения обеих фигур на равные многоугольники.

6. Построить развертку заданной композиции двух объемных геометрических фигур (кроме конуса, цилиндра).

7. Определить: являются ли данные фигуры равными, имеют ли ось симметрии, из каких геометрических фигур состоят и есть ли среди них равные.

8. Заполнить плоскостной контур (объемную коробку) с помощью заданного набора геометрических фигур различными способами.

Далее рассмотрим технологии математического моделирования с детьми.