Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое.

Таким образом, потенциальная энергия определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому-либо пути 12. Тогда, как следует из рис. 7.2,

А₁₂ = А₁₀ + А₀₂ = А₁₀ - А₂₀ = U₁ - U₂ = -U₂ – U₁ ,

то есть работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы при переходе ее из точки 1 в точку 2.

С другой стороны, работа силы равна приращению кинетической энергии системы

A_l2 = U_l-U₂ = K₂-K₁, (7.2)

поэтому

K₁+ U₁= K₂ + U₂. (7.3)

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется ее полной энергиейЕ. Мы получили, что полные энергии в положениях 1 и 2 равны: Е₁ = Е₂, или, что то же самое, полная энергия сохраняется:

Е= К + U = const. (7.4)

Таким образом,

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может.

Это положение называется законом сохранения энергиив механике. Примеры потенциальной энергии в некоторых простейших случаях:

-U= mgh — потенциальная энергии однородного поля тяжести. Начало отсчета h = 0.

-U= kx²/2 — потенциальная энергия растянутой пружины. Начало отсчета х= 0.

-U= -GMm/r — потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точечных масс т и M. За начало отсчета выбрана бесконечно удаленная точка.

Сила и потенциальная энергия

Зная силу как функцию координат материальной точки F(x,y,z), можно путем интегрирования (нахождения работы) определить потенциальную энергию системы

U₁=U(x,y,z)-U(0)=A₁₀=-A₀₁=- Fdr (7.5)

(знак минус перед интегралом обусловлен тем, что при интегрировании в этой формуле мы движемся от точки 0 к точке 1).

Другая задача — вычисление силы F(x,y,z) по заданной потенциальной энергии U(x,y,z). Это, естественно, обратная операция — дифференцирование. Пусть у нас есть две бесконечно близкие точки, r+ dг и г. Тогда

U(r+dr) – U(r) =dU= -F • dr. (7.6)

Расписывая скалярное произведение, получаем

dU = -(F_x dx + F_y dy + F_z dz). (7.7)

Следовательно, (7.8)

(это есть частная производная)

Таким образом, компоненты силы можно найти, дифференцируя потенциальную энергию системы по координатам х,у и z.

Если ввести единичные орты i, j и kвдоль осей координат X, Y и Z, то формулу для силы можно будет записать следующим образом:

F = F_xi+F_yj+F_zk=-( )= -gradU. (7.9)

где мы ввели обозначения:

grad U= (7.10)

Величина, стоящая слева, называется градиентом скалярной функцииU (U(x,y,z) — скаляр). Эта величина является вектором, поскольку определяет действующую на материальную точку силу. Таким образом, дифференцирование по координатам скалярной функции дает вектор.

Наряду с обозначением градиента как gradU применяется обозначение ÑU, где оператор Ñ (набла) определяется следующим образом:

Ñ=

Используя это обозначение, мы можем записать

gradU = Ñ U = ( ) U= (7.11)