Линеаризация статических характеристик релейных элементов

Упражнение 41. Получить обобщенные выражения для коэффициентов гармонической линеаризации простейшего нелинейного звена.

Исходные данные: Статическая характеристика нелинейного звена (рис. 10.1) описывается нелинейной функцией

, (10.1)

где , и . (10.2)

Рис. 10.1. Схема нелинейного звена

Решение. Разложив функцию в ряд Фурье, получим . (10.3)

Примем, что автоколебания переменной не имеют постоянной составляющей. В этом случае в разложении (10.3) слагаемое

Кроме этого, при линеаризации высшие гармоники в разложении не учитываются.

С учетом этих допущений разложение (10.3) можно записать в виде

, (10.4)

где , - коэффициенты гармонической линеаризации:

; (10.5) . (10.6)

В результате нелинейное выражение (10.1) при условии, что заменяется приближенным линейным (10.4). Эта операция замены и называется гармонической линеаризацией. В случае автоколебаний коэффициенты и постоянны.

Упражнение 42. Найти коэффициенты гармонической линеаризации для релейных звеньев.

Решение. На рис.10.2 изображены релейная характеристика и график изменения входного сигнала Видно, что если то переключений в устройстве с представленной релейной характеристикой не будет. Если , то в устройстве с релейной характеристикой будут переключения. На рисунке переключения происходят в точках: А, В, С и Д. При прохождении входным сигналом этих точек выходной сигнал принимает дискретные значения и . При этом на первой полуволне углы и будут соответственно равны

(10.7)

Рис.10.2. Схема для гармонической линеаризации

В соответствии с (10.5) = (10.8)

В соответствии с (10.6)

При получении выражений для и использовались формулы (10.7): , .

С учетом выражений для коэффициентов и линейная модель (10.4) запишется в виде

(10.8)

Задача 48. Получить коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейных характеристик, изображенных на рис. на рис. 10.3

Ответ: а)

б) (10.9)

в)

Из рассмотренных вариантов линеаризации релейных характеристик следует, что коэффициент в тех случаях, когда отсутствует гистерезисная петля.

10.3. Алгебраический метод определения устойчивости и автоколебаний

Упражнение 43. Исследовать устойчивость состояния равновесия электромеханической системы. Принципиальная и структурная схемы системы изображены на рис. 8.1 и 8.3 .

Исходные данные:

(скоростная обратная связь отсутствует);

;

ширина зоны нечувствительности (рис.8.2) и величина выходного сигнала релейного усилителя соответственно равны:

Решение: Ранее было получено уравнение линейной части системы (см. упр. 36)

(10.10)

Отметим, что полином при управляющем воздействии не оказывает влияния на устойчивость системы. Поэтому в уравнении (10.10) целесообразно принять . Кроме этого, по условию задачи . С учетом допущений уравнение линейной части (10.10) примет вид

(10.11)

Описание нелинейного звена запишем в виде

(10.12)

где . Решая совместно (10.11) и (10.12) получим линеаризованное уравнение замкнутой системы.

, (10.13)

где - коэффициент передачи линейной части системы.

Этому уравнению соответствует следующее характеристическое уравнение

Условие существования в уравнении (10.13) устойчивых автоколебаний (периодического решения)

будем искать с помощью критерия устойчивости Михайлова. Для этого выделим из кривой Михайлова вещественную и мнимую части:

; (10.14) . (10.15)

Для определения параметров периодического решения и необходимо мнимую и вещественную части приравнять к нулю.

Приравнивая мнимую часть к нулю, находим искомую частоту

Теперь приравняем вещественную часть к нулю и получим зависимость, связывающую амплитуду периодического решения с параметрами системы

.

Используя предыдущий результат, можем записать

.

После подстановки численных значений параметров получим

.

Решение этого уравнения дает два значения амплитуды и

Далее необходимо определить какая из найденных амплитуд соответствует устойчивым колебаниям. Для этого воспользуемся приближенным аналитическим условием [1], согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство

. (10.16)

Из выражений (10.15) находим

Подставим выражения для частных производных в (10.16) и одновременно выполним замену . В результате получим условие устойчивости периодического решения в виде или .

Следовательно, из двух найденных значений амплитуды и амплитуда соответствует устойчивому периодическому решению, т.е. является амплитудой автоколебаний.

Задача 49.Исследовать рассмотренную в упражнении 32 систему при наличии скоростной обратной связи (рис.8.3). Коэффициент обратной связи . Остальные данные остаются прежними.

Ответ. Состояние равновесия устойчиво автоколебания отсутствуют.

Упражнение 44. Исследовать устойчивость в одноконтурной системе автоматического регулирования (рис.10.4) и определить параметры периодических решений .

Исходные данные:

Нелинейное звено имеет статическую характеристику (рис. 10.3,в).

Рис.10.4. Структурная схема нелинейной системы

Решение: Получим уравнение линейной части системы. Для этого представим структурную схему в составе линейной части и нелинейного звена

Рис.10.5. Линейная часть системы и нелинейное звено.

Далее нетрудно получить уравнение линейной части в виде

.

Для нелинейного звена имеем , где .

Соединив два описания, получим характеристическое уравнение системы

(10.17)

Далее используем критерий устойчивости Михайлова. Для этого в уравнении (10.17) заменим символ « » на и расчленим полученное комплексное выражение на мнимую и вещественную части. В результате получим

(10.18)

Отсюда находим :

После подстановки числовых значений получим . Решая это уравнение, находим .

Исследуем, соответствует ли найденное решение устойчивым периодическим колебаниям. Используя выражения (10.18) определим частные производные для проверки условия устойчивости

Пользуясь условием устойчивости (10.16), найдем

. (10.19)

Из (10.19) следует, что условие выполняется, если выполняется неравенство . В данной задаче это неравенство выполняется. Поэтому в системе будут иметь место периодические колебания с амплитудой 0.031рад.

Задача 50.Исследовать устойчивость состояния равновесия системы, структурная схема которой изображена на рис. 10.4. Если в системе устанавливаются автоколебания, то определить их амплитуду и частоту для переменной . Исходные данные: Статическая характеристика нелинейного звена соответствует рис.10.3,в.

Ответ. В системе устанавливаются автоколебания с частотой и амплитудой

Упражнение 45. Получить зависимости частоты и амплитуды автоколебаний в релейной следящей системе (рис.10.5, а) с звеном чистого запаздывания и нелинейностью (рис. 10.5, б) от величины , если

Решение: Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы в виде

Делая замену , получим две зависимости:

(10.20)

Рис. 10.5. Структурная схема релейной следящей системы

Исключив из системы уравнений (10.20) выражение , найдем,

(10.21)

При малых значениях , из выражения (10.21) можно получить формулу для расчета автоколебаний:

(10.22)

Возведем в квадрат первое и второе уравнение (10.20) и, сложив их, получим формулу для определения амплитуды автоколебаний

(10.23)

Подставим в формулу (10.23) выражение (10.22) и, пренебрегая значением , получим

.

С учетом численных значений параметров можно записать расчетные формулы:

11. Тесты для проверки начальных знаний по теории управления

.Отметьте символом V элементы, отсутствующие в регуляторах прямого действия:

регулирующий орган,

усилитель,

исполнительный механизм,

сравнивающее устройство,

измеритель.

Тест №2. Отметьте символом V законы управления, применяемые в САР:

ZK – закон,

прогрессивный,

П - закон,

интегрирующий,

ПИ - закон,

ПХ – закон,

ПИД – закон.

Тест №3. Отметьте символом V характерные свойства П – закона регулирования:

статическая ошибка Хст = 0,

статическая ошибка Хст > 0,

статическая ошибка Хст < 0,

склонность к колебаниям,

длительный переходный процесс.

Тест №4. Отметьте символом V выражение, соответствующее П – закону регулирования:

U(t) = k ò x(t) dt,

U(t) = k dx /dt,

U(t) = k x(t).

Тест №5. Подчеркните элементы, входящие в состав исполнительного механизма САР:

объект управления,

измеритель,

сравнивающее устройство,

двигатель,

усилитель,

корректирующее устройство,

регулирующий орган,

редуктор.

Тест №6. Отметьте символом V уравнения, соответствующие интегрирующему и апериодическому звеньям:

(Тр+1) Хвых = кХвх,

(Тр+1) Хвых = кРХвх,

(Тр+1) р Хвых = кХвх.

Тест №7. Подчеркните размерность: м/с, н*м, 1/с, вольт, 1/с², соответствующую символу «Р» в уравнении

(Тр+1)р Хвых = к Хвх.

Тест №8. Отметьте символом √ выражение, соответствующее передаточной функции цепочке звеньев с обратной связью

W(P) = , W(P) = ,

W(P) = W₁(P)*W₂(P) – W_oc(P),

W(P) = .

Тест №9. Отметьте символом V выражение, для передаточной функции W(P), соответствующей схеме параллельного соединения трёх звеньев :

W(P)=W₁(P)+W₂(P)+W₃(P);

W(P)=W₁(P)*W₂(P)*W₃(P);

W(P)=W₁(P)*[ W₂(P) + W₃(P)].

Тест №10.Уравнение элемента САР имеет вид (0.09р² +2р + 1)Хвых =кХвх. Отметьте символом V к какому типу динамических звеньев можно отнести данный элемент:

Апериодическое звено;

Консервативное звено;

Колебательное звено;

Интегрирующее звено.

Тест № 11. Отметьте символом V одну из следующих передаточных функций звеньев:

W(P) = ;

W(P) = ;

W(P) = , если формула для расчета АЧХ искомого звена имеет вид = .

Тест № 12. Отметьте символом V одну из следующих передаточных функций звеньев:

W(P) =

W(P) = ,

W(P) = , если формула для расчета ФЧХ искомого звена имеет вид .

Тест № 13. Отметьте символом передаточную функцию звена с запаздыванием:

W(p) = K ,

W(p) = е ,

W(p) = e ,

W(p) = D .

Тест№14. Отметьте символом V одну из передаточных функций:

W(P) = , W(P) = , W(P) = ,

Если ЛАХ искомой функции имеет вид

Тест № 15. Заполните матрицу Гурвица коэффициентами характеристического уравнения a₀ p³+a₁ p²+a₂ p+a₃ = 0

Тест № 16. На рисунке изображена комплексная плоскость расположения корней характеристического уравнения. Укажите, как должны располагаться на плоскости корни характеристического уравнения для устойчивого колебательного процесса.

Тест № 17. Примените критерий устойчивости Найквиста:

обозначьте оси системы координат;

запишите координаты точки « m »;

изобразите годографы, соответствующие устойчивой, неустойчивой и колебательной системам.

Тест № 18. Отметьте символом V передаточную функцию САР по возмущению:

, .

Запишите названия передаточных функций:

Тест № 19. Отметьте символом V передаточную функцию

если соответствующая ей формула для АЧХ имеет вид .

Тест № 20. Отметьте символом √ передаточную функцию звена:

если выражение для ФЧХ этого звена имеет вид .

Тест № 21. Отметьте символом √ одну из передаточных функций звеньев

если ЛАХ искомого звена имеет вид.

Обозначьте оси системы координат

Тест № 22. Укажите символом V динамическое звено, соответствующее фазовой частотной характеристике :

Тест № 23. Система управления описывается уравнениями

Определить инвариантность системы к возмущению (слово инвариантность обозначает независимость)

Тест № 24. Годограф кривой Михайлова имеет вид

Отметьте символом √, какой вариант переходного процесса соответствует представленному на рисунке случаю прохождения годографа:

kолебательный и расходящийся;

kолебательный и затухающий;

kолебательный с постоянной амплитудой;

aпериодический и затухающий;

aпериодический и расходящийся.

Обозначте оси системы координат.

Тест № 25. На рисунке представлена схема расположения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения.

Отметьте символом √ правильное название характеристики ױ:

запас устойчивости системы;

колебательность системы;

коэффициент затухания;

степень устойчивости.

Обозначте оси системы координат.

Тест № 26. На рисунке изображена схема расположения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения. Отметьте символом √:

1. Значения для показателя µ, при которых выполняется исходная предпосылка МЭПиН: µ = 1, µ = 3, µ = 8, µ = 0.8.

Тест №27. Отметьте символом V правильный ответ на следующее задание. Выбор структуры и параметров регулятора являются этапами …

обратной задачи управления;

прямой задачи управления;

задачи синтеза системы управления;

задачи анализа системы управления

Тест № 28. Представленная на рисунке система регулирования является:

стационарной

нестационарной;

дискретной;

линейной;

нелинейной.

Правильный ответ отметьте символом V.

Тест № 29. Логарифмическая амплитудно - частотная характеристика системы с передаточной функцией расположена

ниже оси абсцисс;

выше оси абсцисс;

пересекает ось абсцисс сверху вниз;

пересекает ось абсцисс с низа вверх.

Правильный ответ отметьте символом V.

Тест № 30. Отметить символом V то, что нельзя определить по виду передаточной функции по ошибке:

передаточную функцию разомкнутой системы;

передаточную функцию по возмущению;

передаточную функцию по управляющему воздействию;

характеристический полином разомкнутой системы.

Тест № 31. Отметьте символом V характеристический многочлен, соответствующий системе

Варианты ответов:

Тест № 32. На рисунке приведена схема расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы. Определить примерную величину времени переходного процесса:

Тест № 33. Установите соответствие между асимптотическими логарифмическими амплитудно – частотными характеристиками и типами последовательно соединенных типовых звеньев:

два апериодических;

два дифференцирующих

дифференцирующее и апериодическое;

апериодическое и дифференцирующее.

Тест № 34. Система управления описывается уравнениями

( управляющее воздействие, ошибка регулирования, регулируемая величина).

Символом V указать соответствующий системе вид передаточной функции по ошибке:

Тест № 35. Отметить символом V то, что нельзя определить по виду передаточной функции по ошибке:

передаточную функцию разомкнутой системы;

передаточную функцию по возмущению;

передаточную функцию по управляющему воздействию;

характеристический полином разомкнутой системы.

Тест № 36. Отметить соотношение, связывающее логарифмические амплитудно-частотные характеристики для определения ЛАХ корректирующего элемента :

Указать названия характеристик

Тест 37. Установить соответствие между переходными характеристиками, представленными на рисунке и передаточными функциями типовых динамических звеньев

Тест № 38. Что оказывает наибольшее влияние на длительность переходного процесса:

удаление корней характеристического уравнения от мнимой оси;

величина мнимых частей комплексных корней;

отсутствие вещественных корней характеристического уравнения

Тест № 39. Характеристический полином системы

имеет вид:

Тест № 40. Отметить символом V передаточную функцию по возмущению . Структурная схема системы представлена на рисунке.

Варианты формул передаточных функций:

Тест № 41. Передаточная функция замкнутой системы

По известной формуле вычислить величину коэффициента затухания . Символом V отметить расчетную формулу:

Тест № 42. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

. По параметрам система находится в рабочей области. Символом V указать время переходного процесса: 1с. 3с., 6с., 10с., 15с., 0.5с., 0.1с. …

Тест № 43. Уравнение замкнутой системы регулирования имеет вид . По параметрам система находится в рабочей области. Символом V отметить число, соответствующее максимальному отклонению координаты в переходном процессе = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11,…

Тест № 44. Уравнение замкнутой системы регулирования имеет вид . По параметрам система находится в рабочей области. Символом V отметить число, соответствующее максимальному отклонению в переходном процессе скорости 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,….

Тест № 45. Система, у которой установившийся выходной сигнал при постоянном возмущении любой величины пропорционален этой величине называют:

статической системой;

неустойчивой системой;

астатической системой;

пропорциональной системой.

Символом V указать правильный ответ.

Тест № 46. На рисунке представлена структурная схема разомкнутой системы управления

В пространстве состояний эта система описывается системой уравнений

Символом V указать вид матрицы А:

Тест№47. Квантование сигналов по времени и по уровню выполняется:

в релейных системах;

в цифровых системах;

в импульсных системах;

в системах с запаздыванием.

Символом V указать правильный ответ.

Тест № 48. Функция , определенная только при дискретных значениях времени t= своего аргумента, называется:

модулированной;

решетчатой;

импульсной;

кусочно-постоянной.

Символом V указать правильный ответ.

Тест № 49. Если модулированный сигнал представляет собой последовательность импульсов постоянной амплитуды, но различной длительности, то речь идет о …..

амплитудно-импульсной модуляции;

широтно-импульсной модуляции;

фазоимпульсной модуляции;

частотно-импульсной модуляции.

Символом V указать правильный ответ.

Тест № 50. Система с характеристическим уравнением находится:

на колебательной границе;

на апериодической границе;

в области устойчивости;

вне области устойчивости.

Символом V указать правильный ответ.

Тест № 51. Укажите передаточную функцию, соответствующую ЛАХ на рисунке

Тест № 52. Укажите передаточную функцию, соответствующую ЛАХ на рисунке

Литература.

1. В.Я. Энтин, А.Л. Шапошников, Д.А. Шурыгин. Расчет динамики систем управления. Учебное пособие. – СПб: СПГУТД. 2003.

2. В.Я. Энтин. Основы теории автоматического управления. Учебное .пособие. – СПб: СПГУТД. 2013.

3. В.А. Бессекерский, Е.П. Попов, Теория систем автоматического управления. – СПб: Профессия.2007.

4. В.Дьяконов. МАТLAB/ Учебный курс. СПб: ПИТЕР. 2001.

5. В.А. Климов, В.Д. Лекус и др. Проектирование и расчет динамических систем. – Ленинград: Машиностроение.1974.

Рецензия на учебное пособие: Основы теории

автоматического регулирования (упражнения, задачи, тесты).

В пособии представлены упражнения и задачи, относящиеся к линейной и нелинейной частям теории автоматического регулирования. Основной целью пособия является привитие студентам практических навыков проектирования систем автоматического регулирования, включающего задачи параметрического синтеза, анализа качества и моделирования. При этом в упражнениях указываются способы решения задач, другие же задачи должны решаться студентами самостоятельно.

Пособие содержит 10 разделов.

В 1 - 2 разделах рассмотрены упражнения и задачи, относящиеся к получению уравнений элементов и систем регулирования. В 2 - 4 разделах представлены задачи по устойчивости, частотным и корневым критериям. В 5 разделе рассмотрены приемы построения логарифмических частотных характеристик. В 6 разделе представлены задачи, относящиеся к системам с запаздыванием. Седьмой раздел содержит задачи, направленные на изучение приемов и методов проектирования. Представленный в разделе материал, охватывает практически весь набор задач, решаемых на этапах предварительного ручного и завершающего на ЭВМ проектирования. В пособии использованы программы в системе МАТLAB для автоматизации построения рабочих областей и выполнения численного моделирования переходных процессов.

В 8 – 10 разделах содержатся задачи и упражнения, относящиеся к нелинейным системам. Задачи охватывают темы:

уравнения нелинейных систем;

приближенные методы исследования;

точные методы исследования;

алгебраические методы исследования периодических колебаний.

В последнем 11-ом разделе приводятся контрольные тесты, позволяющие выявить подготовленность студентов по теории управления.

При составлении данного учебного пособия автором использовались ранее изданные им учебные пособия по основам теории автоматического управления и расчету динамики систем управления, а также классические учебники по теории управления. Поэтому материал пособия должен хорошо восприниматься обучаемыми.

Рекомендую к изданию.

Доктор технических наук профессор В.А. Балюбаш.

_____ июня 2015г.

Рецензия на учебное пособие: Основы теории

автоматического регулирования (упражнения, задачи, тесты).

Пособие имеет практическую направленность и способствует развитию у студентов навыков для самостоятельного решения многих задач проектирования и эксплуатации систем управления. К таким задачам в пособии отнесены: задачи параметрического синтеза, анализа качества, настройки систем и моделирования. Необходимые навыки у студентов формируются с помощью специально подобранных упражнений и задач. При этом в упражнениях указываются способы решения задач, другие же задачи должны решаться студентами самостоятельно и способствовать развитию необходимых навыков.

Всего в пособии 11 разделов. Каждый раздел решает свою задачу. Например, во втором разделе студенты обучаются получать уравнения системы. В других разделах осваиваются приемы построения областей устойчивости и использования частотных и корневых методов оценки качества регулирования. Седьмой раздел является наиболее сложным, т. к. в нем рассматриваются практически все задачи, сопутствующие предварительному, ручному и окончательному проектировании с широким использованием ЭВМ.

В пособии также рассмотрены задачи и упражнения по нелинейным системам. В это