Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru находят, решая уравнение Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеемточку перегиба графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru вогнута на этом промежутке, а если Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то функция выпукла на этом промежутке.

Билет №40. Наибольшее и наименьшее значение ф-и на промежутке.

Если функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru определена и непрерывна на отрезке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru принимает в точке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru будет локальным максимумом функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , так как в этом случае существует окрестность точки Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , такая, что Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru .

Однако свое наибольшее значение Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru может принимать и на концах отрезка Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru непрерывной на отрезке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , надо найти все максимумы функции на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru и значения Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru на концах отрезка Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то есть Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru и Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru непрерывной на отрезке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru будет наименьший минимум среди всех минимумов функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru и значений Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru и Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru .

Билет №41. Направление выпуклости и точки перегиба гр-ка ф-и.

рафик функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , дифференцируемой на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , дифференцируемой на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru определена на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru и имеет непрерывную, не равную нулю в точке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru вторую производную. Тогда, если Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru всюду на интервале Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru называется точка Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru имеет перегиб в точке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru , то Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru непрерывна в окрестности точки Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru ;

2. вторая производная Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru или не существует в точке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru ;

3. Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru при переходе через точку Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru меняет свой знак,

тогда в точке Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru функция Определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных. - student2.ru имеет перегиб.

Наши рекомендации