Решение задач на геометрическое определение вероятности

3.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски
Задача1. На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Решение. Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru
Рис.7
По условию задачи искомому событию удовлетворяют все точки, появляющиеся на интервале Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Его длина Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Длина всего отрезка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Значит, искомая вероятность Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Задача 2.В круг радиуса Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг. Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника (площадь треугольника, вписанного в круг - Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru ): Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru   Вероятность заданного события равна Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru  
Задача 3.На отрезке Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru наудачу выбраны два числа Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru и Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .
y
Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru
x
Рис.8
Решение.

По условию задачи координаты точки Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru удовлетворяют системе неравенств Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Это означает, что точка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru наудачу выбирается из множества точек квадрата, длина стороны которого равна 2.

Точки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru , принадлежат фигуре, закрашенной на рис.8.

В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь квадрата:

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

а мерой множества благоприятных исходов - площадь закрашенной фигуры:

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

Вероятность заданного события равна Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

Задача 4.На отрезке Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru длины Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru числовой оси Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru наудачу поставлены две точки: Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru и Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru , причем Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Найти вероятность того, что длина отрезка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru окажется меньше, чем Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение.
L/2
y
x
L
L
L/2
Рис.9
Координаты точек Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru и Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru должны удовлетворять неравенствам Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей заштрихованному прямоугольному треугольнику.

Длина отрезка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru должна быть меньше, чем Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru , т.е. должно иметь место неравенство Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Это неравенство выполняется для точек, которые лежат в закрашенной трапеции (рис.9).

В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь заштрихованного прямоугольного треугольника:

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

а мерой множества благоприятных исходов - площадь закрашенной трапеции:

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

Вероятность заданного события равна Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

Задача 5. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб. Решение. Введем обозначения Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru – радиус шара, Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru – ребро куба. В этом случае мерой множества возможных исходов является объем шара:   Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru   а мерой множества благоприятных исходов — объем вписанного круга: Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru Вероятность заданного события равна Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru
Задача 6. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru можно построить треугольник? Решение. Обозначим длины этих отрезков через Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Из условия задачи следует, что Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Обозначим через Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru множество точек с координатами Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru для которых выполняются данные неравенства, т. е. Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru – куб с ребром Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .
l
l
l
x
z
y
Рис.10
Исходя из условия задачи и учитывая введенные обозначения, получается, что эксперимент состоит во взятии наудачу трех отрезков, длины которых Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .Мы его отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из куба Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .Чтобы построить из этих трех отрезков треугольник, необходимо выполнение условий

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Эти неравенства определяют тело Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru (рис.10), которое получается отбрасыванием от куба трех тетраэдров, отсекаемых плоскостями Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru .

Итак, в нашем случае мерой множества возможных исходов является объем куба с ребром Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru :

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

а мерой множества благоприятных исходов — объем тела Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru :

Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

Вероятность заданного события равна Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru

3.2. Решить задачу
Задача 7. На отрезке длины 20 см помещен меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 8. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru ?Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 9. На отрезке Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru длины Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru числовой оси Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru наудачу поставлены две точки: Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru и Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru , причем Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Найти вероятность того, что длина отрезка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru окажется меньше, длины отрезка Решение задач на геометрическое определение вероятности - student2.ru . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               

Основные теоремы



Наши рекомендации