Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне

В настоящем параграфе метод Фурье применим к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (2.31) теплопроводности в тонком стержне.

7.1. Случай однородного уравнения.Рассмотрим задачу:найти функцию Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru непрерывную при Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , удовлетворяющую уравнению

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.1)

граничным условиям

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.2)

и начальному условию

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.3)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru - заданная функция, имеющая непрерывную производную и Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Ищем решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям (7.2), в виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.4)

Подставляя (7.4) в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

или

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.5)

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.6)

Кроме того, из граничных условий (7.2) следует, что

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.7)

Итак, для определения функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru имеем задачу Штурма- Лиувилля (7.6), (7.7). Эта задача изучена нами в пункте 6.1 §6. Ее решение имеет вид:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.8)

Подставляя значения Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru из (7.8) в уравнение (7.5), получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение дается формулой

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.9)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru произвольные постоянные.

Теперь, если (7.8), (7.9) подставить в (7.4), то получим частные решения уравнения (7.1), удовлетворяющие граничным условиям (7.2), следующего вида

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Чтобы удовлетворить начальному условию (7.3), составим ряд из этих частных решений:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.10)

Подставляя (7.10) в условие (7.3), будем иметь:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.11)

(7.11) есть разложение функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §6, приходим к тому, что соотношение (7.11) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (7.11) определены по формулам

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.12)

Подставляя (7.12) в (7.10), получаем решение задачи (7.1)- (7.3).

По поводу обоснования полученного решения в виде (7.10) необходимо сказать то же самое, что и в §6: ряд (7.10) и ряды, получаемые формальным почленным дифференцированием этого ряда дважды по Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , один раз по Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , сходятся равномерно в области Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru . Можно показать, что при условиях, наложенных выше на функцию Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , эти условия выполняются.

7.2. Случай неоднородного уравнения.Требуетсянайти функцию Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru непрерывную при Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , удовлетворяющую уравнению

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.13)

граничным условиям

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.14)

и начальному условию

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.15)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru - заданная функция, имеющая непрерывную производную и Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Решение задачи (7.13)- (7.15) будем искать в виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.16)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.17)

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.18)

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.19)

а Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.20)

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.21)

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.22)

Задача (7.17)- (7.19) для функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru рассмотрена нами в пункте 7.1; ее решение дается рядом (7.10). Решение Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru задачи (7.20)- (7.22) будем искать в виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.23)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru неизвестные функции.

Пусть ряд (7.23) равномерно сходится в области Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru и допускает почленное дифференцирование дважды по Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru и один раз по Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru . Тогда, подставляя (7.23) в (7.20), получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

откуда

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.24)

где

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.25)

С учетом (7.23) из условий (7.22) получим

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.26)

Следовательно, для определения функций Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru имеем задачу (7.24), (7.26), представляющую задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка (7.24) с начальным условием (7.26). Ее решение дается формулой

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.27)

Подставляя в (7.27) вместо Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru выражение (7.25), а затем полученный результат в (7.23), получаем решение задачи (7.20)- (7.22). Решение исходной задачи (7.13)- (7.15) найдем по формуле (7.16).

Решение задачи для уравнения теплопроводности (7.13) в случае неоднородных граничных условий совершенно аналогично соответствующему случаю для уравнения колебаний струны (см. пункт 6.3).

В заключение параграфа отметим, что для уравнения теплопроводности может быть поставлена задача Коши: найти функцию Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , непрерывную при Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , удовлетворяющую уравнению

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

и начальному условию

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru непрерывная и ограниченная функция.

Решение этой задачи Коши дается формулой Пуассона

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Функция Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

Пример 7.1. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности: Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Решение.Решение этой задачи дается формулой (7.10), в которой коэффициенты Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru определены соотношениями (7.12). В нашем случае

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Внося эти данные в (7.12), получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Вычислим интегралы:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru если Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

при Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Подставив эти значения коэффициентов Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru в (7.10), получим решение задачи в следующем виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Второй способ нахождения коэффициентов Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ruФункцию Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru заданную соотношением (7.10), подставим в начальное условие:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Правая часть этого равенства представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , будем иметь: Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru остальные Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru равны нулю.

Пример 7.2.Решить методом Фурье начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Решение. В соответствии с изложенным в разделе 7.2 §7 решение этой задачи ищется в виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.28)

где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

а Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Сначала решаем задачу относительно функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru решение которой дается формулой (7.10), в которой коэффициенты Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru определены соотношениями (7.12). В нашем случае Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Внося эти данные в (7.12), получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Вычислим эти интегралы с помощью двукратного интегрирования по частям:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Отсюда видно, что коэффициенты Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru с четными номерами равны нулю. Подставив эти значения коэффициентов Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru в (7.10), получим решение первой задачи относительно Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru в следующем виде

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru (7.29)

Перейдем к решению задачи относительно функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Ее ищем в виде (7.23), где Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru и функции Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru определяются формулой (7.27), которая в нашем случае примет вид:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , (7.30)

где для Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru в силу (7.25) с учетом Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru получаем интеграл

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru который вычисляется по частям:

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Внося это выражение в (7.30), для Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru получаем

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Теперь, если это значение Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru подставить в (7.23), то получим решение второй задачи Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru , которое вместе с (7.29) по формуле (7.28) дает решение исходной задачи.

Задачи

Методом Фурье найти решения следующих начально-краевых задач для уравнения теплопроводности:

7.1. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru 7.2. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

7.3. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru 7.4. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

7.5. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru 7.6. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне - student2.ru

Наши рекомендации