Условное математическое ожидание

Определение 1. Условным математическим ожиданием непрерывной СВ X при условии, что непрерывная СВ Y приняла значение y, называется в случае абсолютной сходимости интеграла, функция y:

M[X|y] Δ = +∞ ∫ -∞ xfX(x|y) dx .

Замечание 1. В случае дискретных СВ X и Y условное МО СВ X при условии, что Y = yj, j = 0,m, определяется формулой

M[X|yj] Δ = n ∑ i=0 xi pij pj , j = 0,m,

где

pij Δ = P{X = xi, Y = yj} , pj Δ = P{Y = yj}.

Определение 2. Условное математическое ожидание M[X|y] СВ X как функция параметра y R1 называется регрессией X на y. График функции x = M[X|y] называется кривой регрессии X на y. Аналогично определяется условное МО СВ

при условии, что Y = y. Например, для непрерывных X и Y:

M[φ(x)|y] Δ = +∞ ∫ -∞ φ(x)fX(x|y) dx .
M[φ(Y)X|y] = +∞ ∫ -∞ φ(y)xfX(x|y) dx = φ(y)M[X|y].
Z Δ = φ(x)
M[X|y] Δ = +∞ ∫ -∞ xfX(x|y) dx 5)f(x|y) = +∞ ∫ -∞ xf(x) dx Δ = M[X].

С в о й с т в а M[X | y] : 1) M[φ(Y)|y] = φ(y), где φ(y) -- некоторая функция.2) M[φ(Y)X|y] = φ(y)M[X|y]. Действительно, например, в случае непрерывных СВ X и Y имеем 3) M[X + φ(Y)|y] = M[X|y] + φ(y). Это свойство доказывается аналогично свойству 2)M[X|y]. 4) M[X|y] = M[X], если X и Y -- независимы. Пусть, например, СВ X и Y -- непрерывны, тогда

5) M[X] = M[M[X|Y]], т.е. справедлива формула полного математического ожидания. Пусть СВ X и Y непрерывны, тогда

M[X] Δ = +∞ ∫ -∞ xfX(x) dx 6)f(x,y) = +∞ ∫ -∞ x( +∞ ∫ -∞ f(x,y) dy) dx Л8.Р2.З2 =
= +∞ ∫ -∞ x( +∞ ∫ -∞ fY(y)fX(x|y) dy) dx = +∞ ∫ -∞ fY(y)( +∞ ∫ -∞ xfX(x|y) dx) dy =
                 

Ковариация

= +∞ ∫ -∞ fY(y)M[X|y] dy = M[M[X|Y]].

Если между случайными величинами Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация Условное математическое ожидание - student2.ru . Ковариацию вычисляют по формулам

Условное математическое ожидание - student2.ru

Если случайные величины Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru независимы, то Условное математическое ожидание - student2.ru .

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация — нулевая!

Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Интересно отметить, что Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru .

Кроме того, важны следующие свойства ковариации:

Условное математическое ожидание - student2.ru ;

Условное математическое ожидание - student2.ru ;

Условное математическое ожидание - student2.ru .

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.

Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции Условное математическое ожидание - student2.ru .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;его модуль не превосходит единицы, т.е. Условное математическое ожидание - student2.ru ;если Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru независимы, то Условное математическое ожидание - student2.ru (обратное, вообще говоря неверно!);

если Условное математическое ожидание - student2.ru , то случайные величины Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru связаны функциональной зависимостью вида Условное математическое ожидание - student2.ru , где Условное математическое ожидание - student2.ru и Условное математическое ожидание - student2.ru — некоторые числовые коэффициенты;

Условное математическое ожидание - student2.ru ;

Корреляционным моментом СВ x и h называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. mxh=М((x—М(x))*(h—М(h)))

Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула:

mxh=М(x*h)—М(x)*М(h) Доказательство: По определению mxh=М((x—М(x))*(h—М(h))) По свойству мат. ожидания

mxh=М(xh—М(h)—hМ(x)+М(x)*М(h))=М(xh)—М(h)*М(x)—М(x)*М(h)+М(x)*М(h)=М(xh)—М(x)*(h)

Предполагая, что x и h независимые СВ, тогда mxh=М(xh)—М(x)*М(h)=М(x)*М(h)—М(x)*М(h)=0; mxh=0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Если mxh не равен 0, то СВ x и h зависимы. Если СВ x и h зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими x и h. При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связи x и h независимой от размерностей СВ x и h, вводится коэффициент корреляции:

Кxh=mxh/s(x)*s(h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x,h) Свойства коэффициента корреляции.

1. -1<=Кxh<=1

Если Кxh =±1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ.

2. Кxh>0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет.

Кxh<0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.

3. D(x±h)=D(x)+D(h)±2mxh

Доказательство.

D(x±h)=M((x±h)2)—M2(x±h)=M(x2±2xh+h2)—(M(x)±M(h))2=M(x2)±2M(xh)+M(h2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)±2(M(xh))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)±2mxh

Наши рекомендации