Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.

Неравенство Чебышева

Если случайная величина Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru справедливо неравенство

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

(9.1)


то есть вероятность того, что отклонение случайной величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru и больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .


Запишем вероятность события Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , то есть события, противоположного событию Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Очевидно, что

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

(9.2)

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину больше Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности также уменьшается, и значения случайной величины с небольшой дисперсией сосредотачиваются около её математического ожидания.

Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.

Решение. По условию задачи Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru мм и Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . В данном случае Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru — размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получаем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе независимых испытаний Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru с вероятностью, близкой к единицы, можно утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru и математическим ожиданием этой величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru при условии, что случайная величина Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru имеет конечную дисперсию, то есть

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru


где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru — положительное число, близкое к единице.


Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получаем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или, наоборот, по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если проведено достаточно большое количество измерений определённого параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочно устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, так как вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью более 0,9 можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчётного веса, принятого за математическое ожидание, не более чем на 0,2 кг? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно 0,45 кг.

Решение. По условию задачи, имеем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ,


где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru — средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величине Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru неравенство Чебышева, получим

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru


а с учётом равенств свойства математического ожидания и дисперсии средней

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Подставляя в последнюю формулу данные задачи, получаем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , откуда Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независимых испытаний Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

(9.3)


где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru — любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

(9.4)

При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения. В этом случае случайной величиной является число появления события Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru в Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru независимых испытаниях. Имеем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru


Используя неравенство Чебышева, получаем

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Пример 3. Из 1000 изделий, отправляемых в сборочный цех, обследованию было подвергнуто 200 отобранных случайным образом изделий. Среди низ оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии окажется бракованных изделий не более 15% и не менее 10%.


Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Наибольшее отклонение относительной частоты появления бракованных изделий от вероятности Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru по абсолютной величине равно Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ; число испытаний Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Математическая статистика. Генеральная совокупность и выборка. Случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Статистический и вариационный ряд. Полигон, гистограмма, мода, медиана выборки. Выборочное среднее, дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретного вариационного ряда.

Математическая статистика — это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Статистические данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений (то есть, математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями).

Методы анализа массовых явлений — предмет многих научных дисциплин; но только в том случае, когда для анализа привлекаются формальные (абстрактные) математические модели, эти методы становятся статистическими.

Математическая статистика подразделяется на две обширные области:

описательная статистика аналитическая статистика (теория статистических выводов)
методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр. обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для конкретной области человеческой деятельности. Теория статистических выводов тесно связана с другой математической наукой — теорией вероятностей и базируется на ее математическом аппарате

Трудно найти современную область научных исследований, где бы ни использовались методы математической статистики. В последнее время они нашли широкое применение в медицине, биологии, социологии, т. е. в областях, сравнительно недавно считавшихся далекими от математики.

Общие положения

Понятия генеральной совокупности и выборки из нее являются основополагающими в статистике. Строгие определения заимствованы из теории вероятностей, хотя терминология этих двух наук различается. Вместо случайной величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru в теории вероятностей, в математической статистике вводится понятие о генеральной совокупности. Под генеральной совокупностьюпонимают множество всех возможных значений случайной величины [3, 4, 9].

Вместо эксперимента (испытания, опыта), в результате которого случайная величина Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru приняла значение Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru (в теории вероятностей), в математической статистике вводится понятие о случайном выборе из генеральной совокупности Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru значения Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Уместная в теории вероятностей фраза «в результате Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru независимых испытаний случайная величина Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru приняла значения Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru » преобразуется: «случайная выборка Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru объема Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru извлечена из генеральной совокупности Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ».

Рассмотрим определения понятия «выборка», даваемые в [3, 4, 5].

Выборка – множество независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Выборка – множество числовых значений, которые приняла исследуемая случайная величина в повторных независимых испытаниях (при этом отдельные числовые значения случайной величины в каждом испытании называются реализациями данной случайной величины, а сами испытания проводятся в неизменных условиях).

Эти два определения эквивалентны. Действительно, при рассмотрении задачи – вычисление среднего значения случайной величины Х (числа очков на грани игральной кости) – можно построить опыт двумя способами: подбрасывать один кубик много раз ( Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru раз) и вычислить среднее арифметическое по этим n реализациям (второе определение), или можно взять n одинаковых кубиков, подбросить их один раз, обеспечивая одинаковые условия испытаний (первое определение). Очевидно, значения средних арифметических, вычисленных по результатам обоих опытов, будут различны, поскольку среднее арифметическое как функция от реализаций случайной величины само является случайной величиной. А математическое ожидание как среднее по всей генеральной совокупности будет одинаковым и равным Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Выборку можно понимать и как совокупность случайно отобранных объектов. В этом случае генеральная совокупность – совокупность объектов, из которых производится выборка. Приводя данное определение, необходимо упомянуть о повторных и бесповторных выборках. Повторная выборка производится таким образом, что отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед отбором следующего. При бесповторной выборке отобранные объекты не возвращаются в генеральную совокупность.

Например, для социолога, изучающего мнения избирателей перед выборами, генеральной совокупностью будет являться все население данной страны, имеющее право голоса, а выборкой объема n-множество n человек, отобранных для соответствующего опроса.

Основным предположением статистики является репрезентативность выборки, свойство выборки представлять генеральную совокупность в целом. Репрезентативность, в силу закона больших чисел, достигается случайностью отбора. Наблюдаемые значения Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , называются вариантами или опытными значениями.

Основная задача статистики – получить обоснованные выводы о характеристиках генеральной совокупности, анализируя извлеченную из нее выборку. Конкретные задачи, которые могут стоять перед исследователем статистических данных в зависимости от конкретных целей, возможностей и доступных ресурсов: описать закон распределения генеральной совокупности; подобрать значения параметров этого закона; оценить числовые характеристики генеральной совокупности; если генеральная совокупность – многомерная случайная величина, оценить всевозможные коэффициенты корреляции между ее составляющими; если есть несколько выборок, извлеченных из разных генеральных совокупностей, определить, одинаково ли распределены эти генеральные совокупности, одинаковы ли соответствующие числовые характеристики этих генеральных совокупностей и т. д.

Все перечисленные задачи сформулированы на языке математической статистики и теории вероятностей. От прикладной статистики «требуют» ответы и на другие вопросы. Можно ли утверждать, что новое лекарство излечивает эффективнее от определенной болезни, чем старое? Какой будет численность населения в следующем году? Существует ли связь между значениями предела прочности и предела текучести различных марок стали? Каковы тенденции развития фондового рынка? Существует ли исторический тренд в изменении мирового климата? и т. д. Все эти разнообразные вопросы имеют общий элемент: ответы на них зависят частично от данных. Чтобы вопросы соответствовали действительности, необходимо уметь строить адекватные вероятностные модели для реальных ситуаций, уметь представлять выборку в удобном для изучения виде, владеть математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики. В результате, располагая знаниями о свойствах и характеристиках изучаемой генеральной совокупности, можно предсказать свойства повторно извлеченных из нее выборок, заглянуть в будущее. Итак, анализ данных – это совокупность методов, которые помогают описать явления, определить их структуры, развить объяснения и проверить гипотезы. Он используется во всех науках, в бизнесе, управлении и политике.

Обычно численные результаты анализа выборок просты. Но анализ данных – это не анализ чисел, он лишь использует их. Анализ данных – это исследование мира в стремлении докопаться до истины.

Представление выборки

2.2.1. Вариационный ряд, таблица частот и интервальная таблица частот

В дальнейшем будет использоваться следующее обозначение выборки: Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – варианты выборки (опытные значения); Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – номер варианты; Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – объем выборки.

Небольшие выборки удобно представлять в виде вариационного ряда. Вариационный ряд – это выборка, упорядоченная по неубыванию, т. е.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ,

в вариационном ряду представлены все значения выборки, включая повторяющиеся.

Также для представления выборок пользуются таблицами, состоящими из двух строк. В первой строке записываются варианты выборки, расположенные в порядке возрастания. Во второй строке записываются частоты или относительные частоты вариант.Частотой варианты называется число, равное количеству повторений варианты в выборке. Сумма всех частот опытных значений равна объему выборки. Таким образом, если
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – частота варианты Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , всего в выборке Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru разных вариант, то

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ,

где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – объем выборки. Относительной частотой варианты называется отношение частоты данной варианты к объему выборки:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Очевидно, что сумма всех относительных частот равна 1. Описанные выше таблицы называются таблицами частот итаблицами относительных частот соответственно.

Пример 2.1. С производственной линии случайным образом 36 раз отбирали по 10 единиц некоторого изделия. Каждый раз отмечалось число дефектных изделий.

Получена выборка 1:

Здесь Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru (объем выборки), в выборке представлены 4 варианты: Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Таблицу частот см. в табл. 2.1.

Таблицу относительных частот для этого примера см. в табл. 2.2.

Таблица 2.1 Таблица частот   Таблица 2.2 Таблица относительных величин
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru   Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru   Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

Таблица относительных частот напоминает таблицу вероятностей дискретной случайной величины. Только вместо значений случайной величины пишут варианты выборки, а роль вероятностей исполняют относительные частоты. Перечень вариант выборки и соответствующих им частот или относительных частот называют также статистическим распределением выборки.

Накопленной частотой Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru называется число вариант выборки, меньших данного числа Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Относительной накопленной частотой Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru называется отношение Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Найдем накопленные и относительные накопленные частоты


Таблица 2.3 Вариант обработки данных  
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru

вариант выборки для данного примера (табл. 2.3).

Ясно, что Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru , так как нет ни одной варианты, меньшей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .Кроме того,

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ;

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ,

отчего частоты и называются накопленными. Относительные накопленные частоты – это статистические аналоги значений функций распределения Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru дискретной случайной величины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Действительно,

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Если выборка извлечена из непрерывно распределенной генеральной совокупности, причем ее объем Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru достаточно велик, то такую выборку неудобно представлять в виде таблицы частот или вариационного ряда. Кроме того, при работе с непрерывно распределенными случайными величинами рассматривают не отдельные значения этих величин, а некоторые интервалы этих значений. Поэтому достаточно большую выборку, извлеченную из непрерывно распределенной генеральной совокупности, группируют по интервалам следующим образом. Весь диапазон значений вариант разбивают на разумное число интервалов, как правило, одинаковой ширины Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Чтобы не было недоразумений при подсчете числа вариант выборки, попавших в каждый интервал, левый конец каждого интервала считают закрытым, а правый – открытым, так что интервалы имеют вид Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Частотой i-гo интервала Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru называется число, равное количеству вариант выборки, попавших в этот интервал.

Относительной частотой i-гo интервала Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru называется отношение Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru . Кроме того, вычисляют накопленные и относительные накопленные частоты для правых границ интервалов.

Если рассматривается всего Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru интервалов, очевидно:

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru ,

где Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru – правая граница последнего интервала, все варианты выборки меньше числа Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru .

Полученные числа заносят в таблицу, которая называется интервальной таблицей частот.

Пример 2.2. У 50 новорожденных измерили массу тела с точностью до 10 г. Результаты, кг, таковы (выборка 2):

3,7 3,85 3,7 3,78 3,6 4,45 4,2 3,87 3,33 3,76
3,75 4,03 3,75 4,18 3,8 4,75 3,25 4,1 3,55 3,35
3,38 3,3 4,15 3,95 3,5 3,88 3,71 3,15 4,15 3,8
4,22 3,75 3,58 3,55 4,08 4,03 3,24 4,05 3,56 3,05
3,58 3,98 3,88 3,78 4,05 3,4 3,8 3,06 4,38 4,2

Построим интервальную таблицу частот для этих данных (очевидно, что вес новорожденного является непрерывной случайной величиной). Наименьшая масса равна 3,05 кг, наибольшая – 4,75 кг, поэтому определим границы интервала [3; 4,8], который разобьем на 6 интервалов шириной 0,3.

Интервальная таблица частот выглядит следующим образом (накопленные частоты считаются для правых границ интервалов) (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Интервальная таблица частот

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru 0,1 0,22 0,34 0,22 0,1 0,02
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. - student2.ru 0,1 0,32 0,66 0,88 0,98 1,0

Наши рекомендации