Интервальная оценка мат.ожидания

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Допустим, что для изучения некоторой случайной величины X (признака генеральной совокупности) необходимо по статистическим данным произвестиоценку неизвестного ее параметра θ (это может быть М(Х), D(Х) или р) с определенной степенью точности и надежности, т. е. надо указать границы, в которых практически достоверно лежит этот неизвестный параметр θ.

Это означает, что надо найти такую выборочную оценку для искомого параметра θ, при которой с наибольшей вероятностью (надежностью) будет выполняться неравенство:

Отсюда видно, что чем меньше e, тем точнее характеризуется неизвестный параметр θ с помощью выборочной оценки . Следовательно, число eхарактеризует точность оценки параметра θ.

Надежность выполнения неравенства оценивается числом g (α = 1 – γ), которое называют доверительной вероятностью:

g = Р( ). (1.11)

Итак, число e характеризует точность оценки параметра θ; число g – характеризует надежность оценки параметра θ.

В практических задачах либо заранее задается надежность g (риск α) и надо найти точность оценки, либо, наоборот, задается точность e, а требуется определить надежность оценки.

Как правило, доверительную вероятность g задают числом, близким к единице: 0,95; 0,97; 0,99; 0,999.

Формула (1.11) означает, что с вероятностью g неизвестное значение параметра θ находится в интервале I_g = ( – e, + e).

Очевидно, чем больше требуется точность e (т. е., чем меньше длина интервала), тем меньше вероятность накрыть интервалом I_g искомый параметр θ, и, наоборот, с уменьшением точности e (увеличением длины интервала) увеличивается надежность g накрыть интервалом I_g параметр θ (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Доверительный интервал

Замечание. Если число g = 0,95, это означает, что в среднем в 95 случаях из 100 интервал I_g накроет параметр θ и в 5 случаях из 100 не накроет его.

Оценка , будучи функцией случайной выборки, является случайной величиной, ε также случайна: ее значение зависит от вероятности γ и, как правило, от выборки. Поэтому доверительный интервал случаен и выражение (1.11) следует читать так: «Интервал ( –ε, +ε) накроет параметр θ с вероятностью γ»,а не «Параметр θ попадет в интервал ( –ε, +ε) с вероятностью γ».

Дана выборка (x₁, x₂, …, x_n) объема n из генеральной совокупности с генеральным средним m_x (неизвестный параметр) и генеральной дисперсией s² (известна). Ищется интервал [Θ₁, Θ₂], в котором m_x может находиться с доверительной вероятностью γ. Задача может быть решена двумя путями.

I. Предполагая, что предварительно определена точечная оценка m_x – выборочное среднее , в качестве статистики для получения Θ₁ = = Θ₁(x₁, x₂, …, x_n) и Θ₂ = Θ₂ (x₁, x₂, …,x_n) традиционно рассматривается нормированное выборочное среднее

z = .

Случайная величина z имеет распределение:

1. нормальное, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (z N(0, 1)), если выборка берется из нормальной генеральной совокупности;

2. асимптотически нормальное (z ~N(0, 1)), если генеральная совокупность имеет распределение, отличное от нормального.