Случайные события, виды событий.

Случайные события, виды событий.

Испытанием (или опытом) называется осуществление некоторой совокупности условий.

Событием называется любой результат испытания.

Событие называется случайным (обозначается прописными буквами А,В,…), если в данном испытании оно может или произойти, или не произойти.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в данном испытании оно никогда не произойдет.

Событие называется несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

2.ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙНесколько событий образуют полную группу,если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Для таких событий справедливо следующее утверждение: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Пример.Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7+0,2+р=1, отсюда искомая вероятность

р=1-0,7-0,2=0,1.

Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие, обозначаемое А+В, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведение (или совмещением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое АВ, состоящее в одновременном наступлении и события А, и события В.

Если события А₁,…,А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливы равенства: .

Для событий А и справедливы равенства: А+ =Е, Следовательно, событий А и всегда образуют полную группу несовместных событий.

4. Аксиомы вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Для любого события А вероятность Р(А)>=0 (аксиома неотрицательности) и Р(А)<=1; Р(сигма)=1 (аксиома нормированности); Р(пустое множество)=О.

Если события A и В несовместны, т. е. не могут появиться вместе в ре­зультате одного опыта, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения вероятностей или аксиома аддитивности). Для любого события А

Р(А с черточкой наверху)=1-Р(А) (вероятность противоположного события). Дня любых двух событий A и В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (формула сложения вероятностей).

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) (формула умножения вероятностей).

Формула Бернулли.

Теорема (формула Бернулли). Пусть в серии n одинаковых независимых испытаний в каждом испытании может наступить либо событие А с вероятностью р, либо событие с вероятностью q=1-p. Тогда вероятность P_n(m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли: , где .

Распределение Пуассона.

Если число испытаний n очень велико, а вероятность p появления события А в каждом испытании очень мала, то для вычисления P(X=k) используют формулу Пуассона: , где . При этом говорят, что случайная величина Ч распределена по закону Пуассона. Мат ожид и дисперсия = лямбда

Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений.Формулировка

Пусть есть Пусть также дана последовательность такая, что

Тогда

Нормальное распределение, его числовые характеристики. Выражение функции распределения через интеграл Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. «Правило трех сигм».

Нормальным называется распределение вероятностей тех непрерывных случайных величин, у которых плотность распределения задается формулой: где – некоторые числа(параметры) Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Выясним смысл этих параметров и докажем, что m - это математическое ожидание, а сигма-среднеквадратическое отклонение. В зависимости от параметров аист нормальное распределение может называться немного по-разному. Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами м и сигма (сигма>0)

Нормированнымназывают нормальное распределение с параметрами m=0 и сигма=1. Например, если Х-нормальная величина с параметрами m и сигма, то U=(Х-m)/сигма - нормированная нормальная величина, причем, M(U)=0 и сигма(U)=1. Плотность нормированного распределения задается функцией, которая табулирована. Причем, если F(x) - функция общего нормального распределения, a F₀(x) -

функция нормированного распределения, то легко проверить, что F(x)=Fo((x-m)/сигма).

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Если исследовать эту функцию, видно, что

Изменение величины параметра m не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси ОХ: вправо, если m возрастает и влево, если m убывает.

По иному обстоит дело, если изменяется параметр сигма. Как уже было выяснено, максимум функции плотности нормального распределения равен 1/[сигма(2пи)^1/2]. Поэтому, с возрастанием сигмы максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ОХ, при убывании сигмы нормальная кривая становится более «островершинной». Важно отметить, что при любых значениях параметров аист, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью ОХ остается равной единице (свойство плотности распределения). При m=0 и сигма=1 кривую называют нормированной.

В случае нормального закона распределения функция распределения вероятностей вычисляется по формуле: , где – функция Лапласа (или интеграл вероятностей, или функция ошибок).

Числовые характеристики случайной величины Х, заданной нормальным законом распределения, вычисляются по формулам: .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (a;b), вычисляется по формуле: .

Следствие1: вероятность того, что модуль разности |X-a| меньше некоторого числа δ .

Следствие2: (правило трех сигм): если в следствии1 вместо δ подставить число 3δ, то вероятность того, что модуль разности |X-a|<3δ. На практике правило 3 сигм применяют так:если распределение изучаемой случ вел неизвестно,но условие,указанное в приведенном правиле,выполняется,то есть основание предполагать ,что изучаемая величина распределена нормально.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочные совокупности. Выборка. Вариационный и статистический ряды. Гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения. Точечные и интервальные оценки. Несмещенная, эффективная, состоятельная оценка.

Математическая статистика разрабатывает методы планирования и анализа эксперимента.

К типичным задачам математической статистики относятся:

- задача определения закона распределения случайной величины по статистическим данным;

- задача нахождения неизвестных параметров распределения случайной величины;

- задача проверки правдоподобия выдвигаемых по статистическим данным гипотез о законе распределения случайной величины, о ее параметрах.

Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производиться выборка.

Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Выборка называется представительной (или репрезентативной), если она осуществлена случайным образом, когда все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку.

Вариационным рядомвыборки (1.1) называется способ ее запи­си, при котором элементы Xi упорядочиваются по величине, то есть записываются в виде последовательности в порядке их возрастания (верхний индекс), а не в порядке измерений (нижний индекс).

х⁽¹⁾, х⁽²⁾, ... ,х⁽ⁿ⁾, причем х⁽¹⁾ <= х⁽²⁾ < ... < х⁽ⁿ⁾. Каждое значение хi; вариационного ряда называется вариантой.

Разность между максимальным и минимальным элементами вы­борки х⁽ⁿ⁾- х ⁽¹⁾=w называется размахом выборки.

Пусть в выборке объемом n элемент хi встречается niраз. Число ni называется частотой элемента xi . Очевидно, что

Статистическим рядомназывается последовательность пар (xi,ni), которая записывается в виде табл. 1.Таблица 1(Статистическим рядом, соответствующим полученной случайной выборке, называется набор значений (вариант) качественного или количественного признака объектов выборки, которые располагаются в порядке возрастания. )

Xi	X1	х2	..	хк
ni	n1	n2	..	Nк

Отношение wi= ni/n называется относительной частотой, или ча­стностью элемента хi, выборки. Статистическим распределением случайной величины X называется последовательность пар (хi ,wi), которая также записывается в виде табл. 2.

Таблица 2

Xi	X1	Х2		Xk
wi	w1	w2	…	wk

k

Заметим, что E(сумма)i=lwi=1.

Гистограммой ча­стот называют ступен­чатую фигуру, состоя­щую из прямоугольни­ков, основаниями кото­рых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отноше­нию пi/h (плотность ча­стоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии пi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hпi/h=пi—сумме частот вариант i-го интервала; следо­вательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

На рис. изображена гистограмма частот распреде­ления объема n = 100

Эмпирической функцией распределения случайной величины X называется функция F* (х), определяющая для каждого значения х относительную частоту события (Х< х), т. е. функция вида F* (x)=m/n, ( 1.3 )

где m - число выборочных значений меньших х(хi<х),ап - объем выборки.

Свойства F*(x) аналогичны свойствам теоретической функции распределения F(x) и вытекают непосредственно из определения (1.3), т. е.:

1) значения эмпирической функции распределения заключены
между 0 и 1

О < F*(x) <1 ;

2) F *(х) есть неубывающая функция аргумента х ;

3) F *(х)=0 при х< =хi (х i - наименьшая варианта) ; F *(х)=1 при х> х _k (x _k - наибольшая варианта).

Точечные статистические оценки параметров распределения.

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде статистического ряда. Точечной оценкой наз оценку кот определяется одним числом. при выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, те приводить к грубым ошибкам.

Точечной статистической оценкой параметра а распределения случайной величины называется приближенной значений а* этого параметра, вычисленное по статистическим данным.

Любая точечная статистическая оценка некоторого параметра, вычисляемая на основе статистического ряда, должна удовлетворять трем требованиям:

1) при увеличении числа испытаний она должна находиться по вероятности к оцениваемому параметру (свойство состоятельности);

2) математическое ожидание статистической оценки (как случайной величины при изменении числа испытаний) равно оцениваемому параметру (свойство несмещенности);

3) при заданном объеме выборки статистическая оценка имеет наименьшую дисперсию (свойство эффективности)

Интервальной наз оценку, кот определяется двумя числами Qj * и Q₂* – концами интервала, при этом Q попадает в интервал Q1*< Q < Q₂*. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Качество оценок характеризуется некоторыми свойствами. Сфор­мулируем основные из них.

Свойство 1.

Оценка Q* называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, то есть, если M(Q*)=Q.Замечание: Несмещенная оценка является точной в среднем, то есть не­смещенность оценки гарантирует отсутствие систематической ошибки.

Свойство 2.

Оценка Q*(n)=U(xi,x₂,...,x_n) величины Q называется состоя­тельной, если при п —> она сходится по вероятности к Q, то есть при любом е>0 limP(|Q*(n)-Q|<_E)=l.

n—»

Замечание:Состоятельность оценки гарантирует при п ->оо сколь угод­но большую точность оценки с вероятностью, сколь угодно близкой к единице.

Свойство 3.

Несмещенная оценка Q*=U(xi,x₂,...,x_n) величины Q называет­ся эффективной,если ее дисперсия минимальна по сравнению с дис­персиями других несмещенных оценок величины Q при любом, но од­ном и том же п, то есть D(Q*)=M[(Q*-Q)²]=min.

Замечание:Эффективность оценки гарантирует минимум средней квадратической ошибки M[(Q*-Q)²].

Статистическая проверка гипотез. Виды гипотез. Ошибки первого и второго рода. Статистические критерии проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Проверка гипотез для нормального распределения. Корреляционная зависимость. Нахождение параметров уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства.

Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения, о параметрах известных распределений. Например, стат.являются гипотезы: 1) генеральная сов-ть распределена по закону Пуассона( здесь сделано предложение о виде неизвестного распределения); 2) дисперсия двух нормальных сов-тей равны между собой (о параметрах двух известных гипотез)

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (или основной) и обозначается Н_о.

Гипотеза, которая противоречит нулевой, называется конкурирующей гипотезой (или альтернативной гипотезой) и обозначается Н₁.

Гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение.

Гипотеза называется сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа предположений.

Ошибкой первого рода называется решение отвергнуть нулевую гипотезу H_o и принять конкурирующую гипотезу Н₁, если на самом деле гипотеза Н_о верна. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости α.

Ошибкой второго рода называется решение принять нулевую гипотезу Н_о, то есть отвергнуть конкурирующую гипотезу Н₁, если на самом деле гипотеза Н₁ верна.

Гипотеза Н₀ проверяется с помощью статистического критерия.

Статистическим критерием (критерием) называют однознач­но определенное правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу Но следует или отвергнуть, или принять. В ос­нове критерия- функция Т= Т( х1, ..., хn) от выборочных данных (т. е. статистика критерия ), распределение которой известно. Примера­ми таких распределений, на основе которых построено большинство критериев, являются: нормальное, х2(хи-квадрат) - распределение, распределения Стьюдента и Фишера.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотез (об допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при кот гипотезу принимают. Критическими называются точки, отделяющие критические области от областей принятия гипотез.

Различают правостороннюю, левостороннюю, двустороннюю критические области Правосторонней критической областью для проверки нулевой гипотезы с уровнем значимости α называется совокупность значений критерия проверки Z, для которых выполняется равенство: P(Z>Z_крит)= α. При этом Z_крит называется границей критической области.

.

Правосторонняя критическая область определяется неравенством: Z> Z_крит.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством: Z<- Z_крит.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую облась.

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами Z> Z_1крит и Z> Z_2крит.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.

Случайной функциейназывают функцию неслу­чайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Слу­чайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X (t), Y (t) и т. д.

Например, если U—случайная величина, то функция Х(t) =t²U — случайная.

I Случайным (стохастическим) процессом называют слу­чайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с за­данной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета – случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), те скорость есть случайный процесс.

Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике,

является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс

называется стационарным в узком смысле, если его многомерная функция

распределения (и, следовательно, числовые характеристики) не зависит от

начала отсчета времени, т.е. от сдвига всех сечений вправо или влево на

один и тот же интервал времени t.

Иногда случайный процесс называют стационарным в широком смысле,

если приведенные условия выполняются лишь для числовых характеристик.

Узкое и широкое определения стационарности не тождественны. Случайные

процессы, стационарные в узком смысле, всегда стационарны в широком

смысле, но не наоборот.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Случайные события, виды событий.

Испытанием (или опытом) называется осуществление некоторой совокупности условий.

Событием называется любой результат испытания.

Событие называется случайным (обозначается прописными буквами А,В,…), если в данном испытании оно может или произойти, или не произойти.

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в данном испытании оно никогда не произойдет.

Событие называется несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

2.ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙНесколько событий образуют полную группу,если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Для таких событий справедливо следующее утверждение: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Пример.Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7+0,2+р=1, отсюда искомая вероятность

р=1-0,7-0,2=0,1.