Биномиальное распределение вероятностей

Схема Бернулли порождает дискретную случайную величину, а именно количество случаев появления события A в последовательности n независимых испытаний. Множество значений, которые может принимать эта случайная величина: m = 0, 1, 2, 3, ..., n. Вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения: . Для того чтобы убедиться, является ли набор этих вероятностей распределением, просуммируем их с использованием формулы бинома Ньютона:

.

Таким образом, случайная величина, порожденная испытаниями по схеме Бернулли, задана своими значениями и распределением вероятностей:

Это распределение называется биномиальным распределением.

Для того чтобы представить вид этого распределения, исследуем его на максимальное значение. Для этого вычислим отношение двух соседствующих значений вероятностей:

.

Выясним интервал возрастания вероятности, то есть интервал, в котором

.

В этом неравенстве все сомножители, делимые и делители больше нуля, поэтому его решение не вызовет у читателя затруднений. В результате получим, что интервал монотонного возрастания вероятности простирается от m =0 до m =Ent[np+p-1], где Ent[ · ]– целая часть числа.

Точно так же отыскивается область монотонного убывания:

,

откуда получаем, что монотонное убывание вероятности начинается от значения m=Ent[np+p].

Итак, мы нашли, что наибольшее значение вероятность в схеме Бернулли принимает при значении m, ближайшем к np. А это в свою очередь означает, что ближайшее целое к np есть наиболее вероятное значение количества появления события A в схеме Бернулли.

Числовые характеристики

Распределение вероятностей случайной величины – это максимально полная ее характеристика, но в то же время очень громоздкая. Кроме того вид распределения реальных случайных величин, которые порождаются техническими причинами в измерительных системах, системах автоматизации, системах передачи и приема информации, чувствителен к неконтролируемым случайным факторам. Поэтому в технических приложениях чаще всего используются не распределения вероятностей, а числовые характеристики расположения случайной величины на числовой оси, разброса ее значений и других свойств.

В качестве таких характеристик применяются моменты распределения вероятностей. Это название вызывает естественное желание применить механическую модель, которой мы будем пользоваться при изложении нижеследующего материала.

Механическая система, моделирующая распределение вероятностей, может быть представлена в виде жесткого невесомого стержня (числовая ось), на которую нанизаны точечные массы, расположенные в точках , ,..., . Значения вероятностей моделируются, как значения массы (или веса) этих точек. Таким образом эти точечные массы придают описанной механической системе вращающий момент относительно начала координат.

В качестве характеристики расположения всех значений случайной величины на оси естественно использовать координату центра тяжести описанной механической системы. Как известно из теоретической механики, координата центра тяжести системы определяется из условия равенства моментов: вращающего момента, создаваемого точечными массами, и противодействующего момента, который должна создавать равнодействующая сила, приложенная к центру тяжести.

Итак, пусть – веса точечных масс, то есть силы, создаю­щие вращающий момент относительно начала координат. Тогда отрезки [0, ], [0, ], ..., [0, ] – плечи. Равнодействующая сила равна сумме сил, создаваемых точечными массами. Если – координата центра тяжести, то отрезок [0, ] – плечо равнодействующей силы. Уравнение моментов имеет вид

, .

Отсюда следует, что

,

где – первая из характеристик распределения вероятностей и самой случайной величины, которая имеет два равноправных названия: математическое ожидание случайной величины x и первый начальный момент случайной величины x. Для обозначения математического ожидания используют также равноправное обозначениеM[x].

Рассеяние, разбросанность по числовой оси построенной нами механической системы – аналога распределения вероятностей – не зависит от расположения центра тяжести и характеризуется моментом инерции системы относительно ее центра тяжести. Напомним, что момент инерции точки относительно оси вращения пропорционален массе точки и квадрату ее расстояния от оси. Применительно к распределению вероятностей эта характеристика называется вторым центральным моментом распределения (слу­чайной величины) или дисперсией случайной величины, вычисляется по очевидной формуле для моментов инерции и имеет несколько равноправных обозначений:

,

где – среднеквадратическое значение (отклонение) случайной величины.

Понятно, что если величина не случайна, а потому в любых обстоятельствах может принимать только одно значение с вероятностью 1, то ее дисперсия будет равна нулю.

Кружок над обозначением момента означает, что этот момент вычисляется относительно центра тяжести.

В теории вероятностей, в отличие от механики, широко используются начальные и центральные моменты более высокого порядка:

начальные моменты порядка k : ;

центральные моменты порядка k: .

Найдем несколько полезных соотношений. Вначале вычислим первый центральный момент:

,

чего и следовало ожидать.

Найдем теперь соотношение между вторыми моментами: начальным и центральным.

= .

Поскольку и , окончательно получим

.

Размерность моментов k-го порядка есть k-ая степень размерности значений, которые принимает случайная величина. Например, размерность дисперсии есть квадрат размерности значений случайной величины.