Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины

Функция Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ruназывается функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:

1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось;

2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru ;

3) функция Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - нечетная, покажем это.

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

4) Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .Действительно,Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

График.

Итак, пусть у нас имеется нормальная случайная величина X с математическим ожиданием а и дисперсией Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Тогда функция распределения этой случайной величины

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Тогда Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , при Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , при Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Если Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , то случайная величина называется нормированной. График функции распределения нормированной нормальной случайной величины с математическим ожиданием Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , т.е. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru имеет вид:

Найдем вероятность того, что случайная величина Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , распределенная по нормальному закону с параметрами Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , примет значение из Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Таким образом,

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , т.е. найдем вероятность

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Итак: Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , определяется формулой

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Если в этой формуле положить Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , то получим

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.


Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru той же размерности, что и Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , всегда выполняется неравенство

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Доказательство. Пусть Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - непрерывная случайная величина с плотностью распределения Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Из условия теоремы следует, что Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru при Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru и Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru при Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Математическое ожидание случайной величины Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru -

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru (разобьем на два интеграла)

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Так как Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , то Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Итак,

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Если это неравенство вычесть из тождества 1=1, то

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru или Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Что и требовалось доказать.

Пример. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит 20 лет.

Решение. Пусть случайная величина Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - срок службы мотора. Из условия задачи - Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Требуется оценить снизу вероятность Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Эту вероятность можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова с Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Тогда

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Пример. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 2 млн. рублей, вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб. равна 0.8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?

Решение. Пусть Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - величина случайно взятого вклада, а Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Так как Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , то по неравенству Маркова получим Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru или

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .


Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru для любой случайной величины Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Доказательство. Рассмотрим величину Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Для Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru получим

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Подставим в это неравенство выражение Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru через Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru и Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru или

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Примеры.

Определение.Последовательность чисел Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .


Теорема Чебышева

Если Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru и дисперсия Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Доказательство.

Последовательность Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . Рассмотрим случайную величину

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru . У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru ,

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru имеем

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru или

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Итак,

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Пусть Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , тогда Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru при любых Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru .

Отсюда Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , что и требовалось доказать.

Следствие.

Если Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , а дисперсии Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , то ……………

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

( Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru ) Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Отсюда следует Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru ,

Если точность всех измерений одна и та же, т.е. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , i=1,2,…


Теорема Бернулли

S n A p

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Пусть случайная величина Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru - число наступлений события А в i-ом испытании.

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru
Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru


Следовательно,

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru через m , то

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru или Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

i
Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru


Теорема Ляпунова

Можно доказать, что CBX1X2…Xn –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова

Т. Если X1X2…Xn –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru также существует Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , а также
Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru , тогда сумма S=X1+X2+…+Xn распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru
Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru –ранее вывели. Ф-ция Лапласа.

Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:

1) Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

2) Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

3) Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a1=a2=…=an=a, Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru

Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины - student2.ru


Наши рекомендации