Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины
Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:
1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось;
2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. ;
3) функция - нечетная, покажем это.
4) .Действительно,
График.
Итак, пусть у нас имеется нормальная случайная величина X с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда функция распределения этой случайной величины
.
Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив . Тогда , при , , при , .
Если , то случайная величина называется нормированной. График функции распределения нормированной нормальной случайной величины с математическим ожиданием , т.е. имеет вид:
Найдем вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами , , примет значение из
Таким образом,
.
Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность
.
Итак: .
Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой
.
Если в этой формуле положить , то получим
.
Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.
Неравенство Маркова
Теорема. Если случайная величина может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина той же размерности, что и , всегда выполняется неравенство
.
Доказательство. Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Из условия теоремы следует, что при и при .
Математическое ожидание случайной величины -
(разобьем на два интеграла)
.
Так как , то .
Итак,
, .
Если это неравенство вычесть из тождества 1=1, то
или . Что и требовалось доказать.
Пример. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит 20 лет.
Решение. Пусть случайная величина - срок службы мотора. Из условия задачи - . Требуется оценить снизу вероятность . Эту вероятность можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова с . Тогда
.
Пример. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 2 млн. рублей, вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб. равна 0.8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?
Решение. Пусть - величина случайно взятого вклада, а - число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что . Так как , то по неравенству Маркова получим или
, , .
Неравенство Чебышева
Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева
.
Доказательство. Рассмотрим величину .
.
Для получим
.
Подставим в это неравенство выражение через и
или
Примеры.
Определение.Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого .
Теорема Чебышева
Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного
Доказательство.
Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину
. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:
,
Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем
или
Итак,
Пусть , тогда при любых .
Отсюда , что и требовалось доказать.
Следствие.
Если - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии , то ……………
( )
Отсюда следует ,
Если точность всех измерений одна и та же, т.е. , i=1,2,…
Теорема Бернулли
S n A p
Пусть случайная величина - число наступлений события А в i-ом испытании.
Следовательно,
через m , то
или
i | … | ||||||
… |
,
Теорема Ляпунова
Можно доказать, что CBX1X2…Xn –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова
Т. Если X1X2…Xn –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также
, тогда сумма S=X1+X2+…+Xn распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для
–ранее вывели. Ф-ция Лапласа.
Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:
1)
2)
3)
Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a1=a2=…=an=a,
Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной