Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

B противном случае — левая тройка.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

18). Определения смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • пр_dс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, пр_dс = Н Для правой тройки векторов и пр_dс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипе­да. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.