Уравнение линии и поверхности.

Еденичной

-Квадратная матрица называется

треугольной если все элементы

расположенные по одну сторону

диагонали равны нулю

-Матрица содержащая в себе один

столбец или строку называется

вектор столбцом вектор строкой

-Матрица полученная заменой строк

столбцами наз-ся транспонированной

-Минором некоторого элемента aij

определителя n-го порядка наз-ся

определитель (n–1)-го порядка,

полученный из исходного путём

вычёркивания строки и столбца,

на пересечении которых нах-ся

выбранный элемент.

-Алгебраическим дополнением

элемента aij определителя наз-ся

его минор, взятый со знаком «+»,

если сумма i+j чётное число,

и со знаком «-», если эта сумма неч.

-Правило треугольников

Свойства определителей

-Определитель матрицы не изменится

при транспонировании матрицы

-При перестановке двух IIрядов

определитель меняет знак на

противоположный

-Определитель имеющий два

одинаковых ряда равен нулю

-Общий множетель элементов

какоголибо ряда определителя

можно вынести за знак определителя

-Если элементы какого-либо ряда

определителя представляют собой

суммы двух слагаемых то опред.

может быть разложен на сумму

двух соответствующих определителей

-Определитель не изменится если

к элементам одного ряда прибавить

соответствующие элементы II ряда,

умноженные на любое число

-Величина определителя не меняется,

если по всем эл-ам ряда добавить соотв.

эл. др. ряда, умножен. на любое число к

-Величина опред. равна сумме пр-ий

эл. некоторого ряда на их алгебраич. доп.

Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.

det = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁,

= - +

Действия над матрицами

-Операция слож. матриц вводится только

для матриц одинаковых размеров

-Суммой двух матриц А и B называется

матрица С у которой элементы cij=aij+bij

-ТАкжеопределяется разность матриц

-Произведение матрицы на число наз-ся

матрица В у которой элементы bij=k*aij

-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.

матрице А.Разность матриц А-Вможно

определить как А-В=А+(-В)

-Операция умнож двух матриц вводится

только тогда когда число столбц первой

матрицы равно числу строк второй

матрицы m*n умножить на n*p равно

матрицы m*p.

-Умножение производиться следующим

образом эл. iой строки и kго столбца

матрицы произведения матрицы С равен

сумме произведений элементов iй

строки матрицы А на соответствующие

элементы kго столбца матрицы В

-Операции сложения и умножения

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1*А=А

6. k*(A+B)=kA+kB

7. (k+c)*A=k*A+c*A

8. k*(c*A)=(k*c)*A

9. A*(B*C)=(A*B)*C

10. A*(B+C)=A*B+A*C

11. (A+B)*C=A*C+B*C

-Произведением матрицы А на матрицу

В наз-ся матрица С у которой элемент

i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий

элементов i-строки матрицы А на

соот. элементы k-столбца матрицы В

-Матрица А- наз-ся обратной матрице А

если их пр-ие дает единичн. Матр

если detA><0, то невырожденная

если detA=0, то вырожденная

Матрица имеющая обратную

матрицу называется обратимой.

Т. Если квадратная матрица А

имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С –

две матрицы обратные к матрице А.

Тогда и

-Рангом матрицы наз-ся наибольший

из порядков миноров отличных от нуля,

Ранг канонической матрицы равен числу

единиц стоящих на ее диагонали, Ранг

матрицы равен максимальному числу

линейно независимых строк матрицы А.

-При трансп. матр. ранг не меняется

-Если вычеркнуть из матрицы нулевой

столбец, то ранг матрицы не изменится

-Ранг матрицы не изменится при

элементарных преобразованиях

-Эквивалентными матрицами наз-ся

матрицы, когда одна матрица получена

из другой с помощью элементарных

преобразований матрицы ни яв-ся

равными, но их ранги равны

-Т: Для того чтобы матрица А имела

обратную необходимо и достаточно,

чтобы ее опред. был отличен от нуля

Базисный минор матрицы A

любой ненулевой минор матрицы A

порядка r, где r=rangA.

-Т Крамера система из m уравнений

и n неизвестных в случае, когда

определитель этой системы

отличен от нуля имеет решение и

только одно это решение находится

по формулам Х=deti/det для всех i

где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной

заменой i-го столбца столбцом

свободных членов.

-Т о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть

линейная комбинация ее базисных

столбцов сами базисные столбцы

линейно независимы (верно для строк).

-Метод Гауса(метод последовательного

исключения неизвестных) если число

базисных элементов соответствует

числу строк то у системы единственное

решение если число строк больше

числа базисных элементов то у

системы множество решений

-Однородная система – система

уравнений когда свободный член

равен нулю и система неоднородна

в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0

или в матричном виде АХ=0. Любая

однородная система имеет одно

решение и совместна

-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных

ур-ий совместна тогда и только тогда

когда ранг расширенной матрицы равен

рангу системы (необходимо достаточно)

-Вектором называется направленный

отрезок.

-Векторы называются коллинеарными,

если они параллельны одной прямой

-Векторы называются компланарными,

если они параллельны одной плоскости.

-Длиной или модулем вектора называется

длина соотв. направленного отрезка

- a + b = c,

-Вектор b называется противоположным

вектору a, если a и b коллинеарные,

имеют противоположные направления и

Вектор, противоположный вектору

a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.

- а-в=а+(-в)

-Пр-ием вектора a на вещественное

число называется вектор b,

определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя усл:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направл одинаково,

если , и противопол, если .

Произведение вектора a на число

обозначается (рис 1.4).

-свойства:
1) а+в=в+а
2) (а+в)+с=а+(в+с)
3)а+0=а;
4)а=(-а)=0;
5)
6)
7)
8)1*а=а.

-свойства линейной зависимости

1Если среди векторов есть нулевой

2если част векторов л.з. один из

векторов равен линейной

комбинации других

3векторы коллинеарны/компланарны

4любые 4 вектора всегда л.з.

5если часть векторов л.з.

-Базис. Множество векторов на прямой

назовем одномерным векторным

пространством, множество векторов

на плоскости -- двумерным векторным

пространством, в пространстве –

трехмерным векторным пространством.

Базисом векторного пространства L

будем называть упорядоченную

систему векторов пространства,

состоящую: из одного ненулевого

вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если

пространство двумерное; из трех

некомпланарных векторов, если

пространство трехмерное.

Число векторов в базисе равно

размерности пространства.

Координатами вектора a в

базисе называются

коэффициенты разложения вектора

a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет

координаты , мы

будем использовать

запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе

каждый вектор имеет, единственный,

набор координат. Сложение векторов

и умножение их на число связаны с

аналогичными действиями с их

координатами.

-Т о единственности разложения

Любой вектор можно разложить

по базису и это разложение

единственно т.к. три вектора

базиса л.н.з. если добавить 4 вектор

то все четыре вектора л.з.

-Декартов базис-тройка упорядо-

ченных взаимно перпендик. векторов

единичной длины (i, j, k)

-Если и взаимно перпендик.

и их модули равны единице, то базис

называется ортонормированным

- , , .

;

-Проекцией точки A на ось l называется

число, соответствующее основанию

перпендикуляра AB, опущенного

на ось lиз точки A.

-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся

разность проекций конца вектора и

его начала.

Проекцию будем обозначать

- .

-Скалярным произведением векторов

a и b называется число, равное

где -- угол между векторами a и b.

-1) ,
2) ,
3) ;
4) при ;
5) ;
6) Если -- угол между векторами

a и b, то ;
7) , если ;
8) тогда и только тогда,

когда векторы a и b ортогональны.

-Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз.

правоориентированной (правой), если с

конца 3го вектора с кратчайший поворот от

1го ко 2му вектору мы будем видеть против

час. стрелки. Если кратчайший поворот от

1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Векторным произведением 2х векторов а и

в наз. такой вектор с, который удовлетворяет

условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3.

тройка а,в,с-правая.

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную

точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и

достаточно чтобы вектора N^M₀M

(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости,

проходящей через данную точку ^вектору.

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

Нахождение начальной

Плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

p­­q<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

Общее ур-е прямой линии на

Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты

которых по отношению к системе

декартовых координат удовлетворяет

уравнению y=ax², где х и у - текущие

координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах.

в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом

параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе,

расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости,

равноотстающих от фокус и от директрисы y=ax².

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если

коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем

эллипса,

где При а=в

представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом

(0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой

точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии

Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют

противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы

примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) –

фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперб абсолютная величина

разности ее расстояний до фокусов есть

величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0,

получаем 2 перекрестные прямые

х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е

сопряженной гиперболы.

Ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом

переменной x_n, если для каждого “+” как

угодно малого числа e(эпсилон) существует

такой номер N,

что при n>N разность |x_n-a|<e

limx_n=a

n®¥

-e<X_n-a<e

a-e<X_n<a+e

б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом

переменной х, если разность м/ду ними

есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e

Число А называется пределом ф-ции f(x)

при х®а, если для каждого, как угодно малого

на период заданного числа e. -e>0, найдется

такое как угодно малое на период заданного

d>0, что будут выполняться неравенства:

Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.

И на интервале.

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной

в точке x₀, если она определена

в окрестности этой точки,

а limDy=0. (б.м. приращению аргумента

соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если

ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале,

если она непрерывна в каждой его точке.

Признаки существования а) предела ф-ции и

б) предела последовательности.

а) если все значения ф-ции f(x) заключены

между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые

имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A

j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А,

то limf(x)=A. х®а

б) Если последовательность монотонно

возрастает и ограниченна сверху, то она

имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает,

если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху,

если существует такое М, что x_n<=M.

Бесконечно малые величины и их св-ва:

величина называется б.м.в. в каком-то процессе,

если она в этом процессе бесконечно

уменьщается.

(r=m/V, если V®¥, то r®0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть

б.м.в.

(a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную

есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

Определение производной

И ее геометрический смысл.

1. n_cp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. p_cp.=Dm/Dl, p_T=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость

изменения ф-ции при изменении

аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в

точке а называется предел отношения

приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой

и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение

касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной

заключается в том, что есть tg угла

наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Производные степенных и

Тригонометрических функций.

Основные формулы:

Производные обратных

Тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

Производные показательных и

Логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая

функция от x, то формулы имеют вид:

Й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

Смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более

высокого порядка малости,, чем Dx(a), и

ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина,

пропорциональная б.м. приращению аргумента

Dх и отличающаяся от соответствующего

приращения ф-ции на б.м.в. более высокого

порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал –

изменение ординаты касательной, проведенной

к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении

x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx,

d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на

заданном промеж/ [a,b] деффер. на

интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с

из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и

дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство:применим т.Коши,

взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

Экстремумы ф-ций.

Й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции,

если значение ф-ции в этой точке - наименьшее

в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x)

может иметь max и min только в тех точках,

в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательн).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой

экстремума, если ее производная в этой точке

меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

Переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n),

если каждой, рассматриваемой в совокупности

этих величин соотв-ет 1 определенное

значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А

при М₀®М, если каждому значению как

угодно малого числа d(дельта) соотв-ет,

как угодно малое заданное число e>0, если

|M₀M|=d, то |f(M)-A|<e

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀,

если б.м. приращению любого аргумента

соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ ® x₁

x₂⁰ ® x₂

x_n⁰ ® x_n

Нескольких переменных.

Дифференцирование сложной

Ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от

ф-ции Z явл. частная производная от

1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

Еденичной

-Квадратная матрица называется

треугольной если все элементы

расположенные по одну сторону

диагонали равны нулю

-Матрица содержащая в себе один

столбец или строку называется

вектор столбцом вектор строкой

-Матрица полученная заменой строк

столбцами наз-ся транспонированной

-Минором некоторого элемента aij

определителя n-го порядка наз-ся

определитель (n–1)-го порядка,

полученный из исходного путём

вычёркивания строки и столбца,

на пересечении которых нах-ся

выбранный элемент.

-Алгебраическим дополнением

элемента aij определителя наз-ся

его минор, взятый со знаком «+»,

если сумма i+j чётное число,

и со знаком «-», если эта сумма неч.

-Правило треугольников

Свойства определителей

-Определитель матрицы не изменится

при транспонировании матрицы

-При перестановке двух IIрядов

определитель меняет знак на

противоположный

-Определитель имеющий два

одинаковых ряда равен нулю

-Общий множетель элементов

какоголибо ряда определителя

можно вынести за знак определителя

-Если элементы какого-либо ряда

определителя представляют собой

суммы двух слагаемых то опред.

может быть разложен на сумму

двух соответствующих определителей

-Определитель не изменится если

к элементам одного ряда прибавить

соответствующие элементы II ряда,

умноженные на любое число

-Величина определителя не меняется,

если по всем эл-ам ряда добавить соотв.

эл. др. ряда, умножен. на любое число к

-Величина опред. равна сумме пр-ий

эл. некоторого ряда на их алгебраич. доп.

Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.

det = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁,

= - +

Действия над матрицами

-Операция слож. матриц вводится только

для матриц одинаковых размеров

-Суммой двух матриц А и B называется

матрица С у которой элементы cij=aij+bij

-ТАкжеопределяется разность матриц

-Произведение матрицы на число наз-ся

матрица В у которой элементы bij=k*aij

-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.

матрице А.Разность матриц А-Вможно

определить как А-В=А+(-В)

-Операция умнож двух матриц вводится

только тогда когда число столбц первой

матрицы равно числу строк второй

матрицы m*n умножить на n*p равно

матрицы m*p.

-Умножение производиться следующим

образом эл. iой строки и kго столбца

матрицы произведения матрицы С равен

сумме произведений элементов iй

строки матрицы А на соответствующие

элементы kго столбца матрицы В

-Операции сложения и умножения

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А+В)+С

3. А+0=А

4. А-А=0

5. 1*А=А

6. k*(A+B)=kA+kB

7. (k+c)*A=k*A+c*A

8. k*(c*A)=(k*c)*A

9. A*(B*C)=(A*B)*C

10. A*(B+C)=A*B+A*C

11. (A+B)*C=A*C+B*C

-Произведением матрицы А на матрицу

В наз-ся матрица С у которой элемент

i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий

элементов i-строки матрицы А на

соот. элементы k-столбца матрицы В

-Матрица А- наз-ся обратной матрице А

если их пр-ие дает единичн. Матр

если detA><0, то невырожденная

если detA=0, то вырожденная

Матрица имеющая обратную

матрицу называется обратимой.

Т. Если квадратная матрица А

имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С –

две матрицы обратные к матрице А.

Тогда и

-Рангом матрицы наз-ся наибольший

из порядков миноров отличных от нуля,

Ранг канонической матрицы равен числу

единиц стоящих на ее диагонали, Ранг

матрицы равен максимальному числу

линейно независимых строк матрицы А.

-При трансп. матр. ранг не меняется

-Если вычеркнуть из матрицы нулевой

столбец, то ранг матрицы не изменится

-Ранг матрицы не изменится при

элементарных преобразованиях

-Эквивалентными матрицами наз-ся

матрицы, когда одна матрица получена

из другой с помощью элементарных

преобразований матрицы ни яв-ся

равными, но их ранги равны

-Т: Для того чтобы матрица А имела

обратную необходимо и достаточно,

чтобы ее опред. был отличен от нуля

Базисный минор матрицы A

любой ненулевой минор матрицы A

порядка r, где r=rangA.

-Т Крамера система из m уравнений

и n неизвестных в случае, когда

определитель этой системы

отличен от нуля имеет решение и

только одно это решение находится

по формулам Х=deti/det для всех i

где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной

заменой i-го столбца столбцом

свободных членов.

-Т о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть

линейная комбинация ее базисных

столбцов сами базисные столбцы

линейно независимы (верно для строк).

-Метод Гауса(метод последовательного

исключения неизвестных) если число

базисных элементов соответствует

числу строк то у системы единственное

решение если число строк больше

числа базисных элементов то у

системы множество решений

-Однородная система – система

уравнений когда свободный член

равен нулю и система неоднородна

в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0

или в матричном виде АХ=0. Любая

однородная система имеет одно

решение и совместна

-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных

ур-ий совместна тогда и только тогда

когда ранг расширенной матрицы равен

рангу системы (необходимо достаточно)

-Вектором называется направленный

отрезок.

-Векторы называются коллинеарными,

если они параллельны одной прямой

-Векторы называются компланарными,

если они параллельны одной плоскости.

-Длиной или модулем вектора называется

длина соотв. направленного отрезка

- a + b = c,

-Вектор b называется противоположным

вектору a, если a и b коллинеарные,

имеют противоположные направления и

Вектор, противоположный вектору

a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.

- а-в=а+(-в)

-Пр-ием вектора a на вещественное

число называется вектор b,

определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя усл:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направл одинаково,

если , и противопол, если .

Произведение вектора a на число

обозначается (рис 1.4).

-свойства:
1) а+в=в+а
2) (а+в)+с=а+(в+с)
3)а+0=а;
4)а=(-а)=0;
5)
6)
7)
8)1*а=а.

-свойства линейной зависимости

1Если среди векторов есть нулевой

2если част векторов л.з. один из

векторов равен линейной

комбинации других

3векторы коллинеарны/компланарны

4любые 4 вектора всегда л.з.

5если часть векторов л.з.

-Базис. Множество векторов на прямой

назовем одномерным векторным

пространством, множество векторов

на плоскости -- двумерным векторным

пространством, в пространстве –

трехмерным векторным пространством.

Базисом векторного пространства L

будем называть упорядоченную

систему векторов пространства,

состоящую: из одного ненулевого

вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если

пространство двумерное; из трех

некомпланарных векторов, если

пространство трехмерное.

Число векторов в базисе равно

размерности пространства.

Координатами вектора a в

базисе называются

коэффициенты разложения вектора

a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет

координаты , мы

будем использовать

запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе

каждый вектор имеет, единственный,

набор координат. Сложение векторов

и умножение их на число связаны с

аналогичными действиями с их

координатами.

-Т о единственности разложения

Любой вектор можно разложить

по базису и это разложение

единственно т.к. три вектора

базиса л.н.з. если добавить 4 вектор

то все четыре вектора л.з.

-Декартов базис-тройка упорядо-

ченных взаимно перпендик. векторов

единичной длины (i, j, k)

-Если и взаимно перпендик.

и их модули равны единице, то базис

называется ортонормированным

- , , .

;

-Проекцией точки A на ось l называется

число, соответствующее основанию

перпендикуляра AB, опущенного

на ось lиз точки A.

-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся

разность проекций конца вектора и

его начала.

Проекцию будем обозначать

- .

-Скалярным произведением векторов

a и b<