Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

ДУ – ур-ния содержащие неизвестные функции или вектор функции под знаком производной или дифференциала.

1. dx/dt = -kx - уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x- кол-во неразложившегося вещ-ва в момент времени t, dx/dt – скорость распада,которая пропорциональна кол-ву распада.

2. m*(d2r/dt2) = F(t,r,dr/dt) - ур-ние движения точки, массы m под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки радиус вектора и ее скорости.

3. ð2u/ ðx2 + ð2u/ ðy2+ ð2u/ ðz2 = 4πρ(x,y,z) - ур-ние Пуассона, которому удовлетворяет потенциал и (x,y,z) электростатического поля, ρ-плотность зарядов.

ДУ – ур-ние относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком ДУ называется порядок старшей производной входящей в это уровнение.

ДУ называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной. (пример 1,2)Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называются ур-ниями с частными производными (пример 3).

Обыкновенные ДУ(ОДУ) n-ого порядка наз. ур-ния вида:F(x,y,y`,y``,…yn)=0, (1)

Где, x-независимая переменная, y=y(x) –зависимая от x-искомая ф-ия переменной x, y`,y``,…yn -производная, F( ) –заданная ф-ия своих аргументом,может не содержать несколько своих элементов,но должна зависить от yn.

Если ур-ние (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то можно представить: yn = f(x, y,y`,y``,…yn-1). (2)

Ф-ия y=φ(x) определенная и непрерывная дифференцируемая n раз на (a,b) назыв. Решением ур-ния (1) в этом интервале если она обращает указанное ур-ние в тождество: F(x, φ(x), φ`(x),… φn(x)) =0, для всех х принадлеж. интервалу (a,b).

Задача Коши для ДУ 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-ого порядка.

Ур-ния вида: y`=f(x,y) имеет бесконечное число решений. Из множества решений можно выделить одно частное решение с помощью задания начального условия Коши: y(x0)=y0 , (x0, y0)?D (*)

Задача отыскания частного решения ДУ y`=f(x,y)удовл. нач.усл.(*) назыв задачей Кошидля этого ур-ния с геометрической точки зрения задача Коши для ДУ y`=f(x,y) означает следующее: требуется из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку M0(x0, y0) ?D.

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). Дусть ф-ия f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D(df/dy), тогда найдется интервал (x0-δ, x0+δ) на котором существует единственное решение y= φ(x) ДУ y`=f(x,y) удовл. условиям y(x0)=y0 .

Если условия теоремы выполнены и имеются 2 решения: y= φ1(x) и y= φ2(x) ур-ния y`=f(x,y) такие, что φ1(x0)= φ2(x0), то существует такой интервал (x0-δ, x0+δ) в каждой точке которого φ1(x)= φ2(x).

Геометрическая интерпретация ДУ 1-ого порядка. Метод изоклин.

Из ур-ния y`=f(x,y) следует что угловой коэффициент y` касательной к интегральной кривой в каждой точке (x,y)?D равен значению ф-ии f(x,y) в этой точке.

Таким образом, в каждой точке (x,y)?D можно указать направление касательной к интегральной кривой проходящей через точку (x,y) .

Если через каждую точку кривой провести отрезок с коэфф. k=f(x,y) получится поле направлений области D.

Вывод. С геометрической точки зрения ДУ y`=f(x,y) опред. в обл. D плоскости XY поле направлений а решению этого ур-ния соотв. Кривая направлений к косательной к которой в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Эта задача решается графически и приближенно методом изоклин.

ИзоклинойДУ y`=f(x,y) называется кривая в каждой точке которой поле направлений имеет один и тот же наклон, т.е. семейство изоклин ДУ y`=f(x,y) определяется равенством: f(x,y) = k =tgα , где k-параметр, α-угол наклона поля направлений оси X.

Придавая параметру k близкое численное значение можно получить сеть изоклин с помощью которых приближенно строятся интегральные кривые ДУ y`=f(x,y).

Однородные ДУ 1-ого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом t выполняется условие: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru .

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Однородное уравнение всегда можно привести к виду Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru и с помощью замены y/x=t однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (y/x=t; y=xt; y’=t+xt’).

Такие уравнения с помощью подстановки y = ux и y' = u'x + u, dy=udx+xdy , где u – новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения y`=2xy/(x2-y2). Проверим, является ли данное уравнение однородным:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru т.е. является. Введем замену: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Подставим в исходное уравнение: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Найдем интеграл левой части уравнения:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Найдем интеграл правой части уравнения: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Приравняем найденные результаты: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Используем свойства логарифмов и потенцируем равенство: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru , Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru . Подставим вместо Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru получим Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru .Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru , где С – произвольная постоянная.

7.Линейные ДУ 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).

ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=f(x) (21)– первого порядка относительно у и у’. Где P(x) и f(x) заданные ф-ции, линейн относ неизв ф-ции и ее произв-й. Если f(x)=0 , то ур-ние линейн однородн.

Для решения ЛДУ применяем замену(подстановка Бернулли): y=UV, тогда y’=U’V+UV’

U’V+UV’+P(x)UV=f(x)

V(U’+P(x)U)+UV’=f(x) (23)

Далее приравняем U’+P(x)U=0 – ур с раздел. переменными, его общ решен:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru , подстав U(x) в 23: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ;(поделим обе части на U(x) и проинтегрир): Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ; Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ;подставл найден знач v(x) и u(x) в выр

y(x)=U(x)V(x): y(x)= U(x)( Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru );

По методу вариац произв постоян неодн ду (21) ищется в виде: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru --реш. неоднор лду в котор C=C(x)-диференц ф-ция. подставив в 21 получим:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru +p(x) Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru =f(x)

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru => Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ; ф-ция с(х) найдена подст в ф-лу 25 оконч получ общ реш ду 21:

y= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Уравнение Бернулли

урав вида y’+P(x)y=Q(x) Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru yn,n Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru (26)

при n=0, оно превр в линейн ду, при n=1 в ур с раздел перемен.

y’+ Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru y=0 –ур с разд перем

рассм случ когда Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ур Берн сведется к лин диф ур, для этого обе части рав-ва 26 раздел все эл-ты на yn ; y Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru 0; y=0 – явл решен ур Берн при n=0; yn Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru y’+P(x) y1-n=f(x) (27). Введем замену перемен: y1-n=z, z=z(x), z’=(1-n)y; y-n Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru y’= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ; Ур 27 примет вид:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ; 28 явл лин ду относ задан ф-ции z(x) его реш мож быть получ метод подстан Берн или вариац произв постоян.

Теорема.

Уравнение Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 с непрерывной диф. функцией Р(х,у) и Q(x,y) является уравнением в полном дифференциале тогда и только тогда, когда выполняется условие: ðP/ðy=ðQ/ðx.
Доказательство.Необходимось:

пусть левая часть ур. Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал неявной ф-ииu(x,y)

Р(х,у)dх + Q(x,y)dy= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

P(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Q(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Продифференцируем 1-е соотношение P(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru по у, а 2-е Q(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru по х.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru и Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

В силу равенства получаем: ðP/ðy=ðQ/ðx

Достаточность:

при выполнении усл. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru и Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0 есть полный дифференциал некоторой ф-ииu(x,y).

Интегрируя по х из P(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Q(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru : u(x,y)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Подберем ф-ю Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru чтобы выполнялось 2-е соотношение. Для этого продифференцируем равенство по у и результат приравняем Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Необходимо показать что первая часть равенства не зависит от х.

Интегрируем рав-во и получаем:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

U(x,y)=C общее решение уравнения Р(х,у)dх + Q(x,y)dy=0

10.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши. Приемы понижения порядка (на примерах ДУ 2-ого порядка).

F(x,y, y´…… Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru =0 – наз. диф. ур. n-ого порядка. Будем предполагать, что оно разрешается относительно n-ой произ.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )

Теорема Коши.

Если ф-я Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru и её частная производная от аргумента y,y´, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru определена и непрерывна в области R, содерж. точку( Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )то в некоторой окрестности точки х0 существует ед. решение ур. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )удавле. усл.y(x0)=y0; y´(x0)=y Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru ; … Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru (x0)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )

Это условие есть условие Коши.

Задача отыскания решения ур. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )удовл. этим усл. наз. задачей Коши для ур. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru )

В зад. Коши для диф. ур. 2-го порядка Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

В некоторых частных случаях д.у. высших порядков можно решать методом понижения порядка.

1. у´´=f(x)т.к. у´´=(у´)´, то интегр. левую и правую часть

у´= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

y= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

С1 и С2 – производные константы

2. у´´=f(x, y´) ,у´=z=z(x), y´´=z´, z´=f(x.y)

z= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru z(x)= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

y´= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

y= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru -общее решение

3. y´´=f(y,y´) не содержащие явно независ. переменных х. Вводится новая ф-яz(y) и тогда у´=z ;y´´= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Подставив в исх. ур. полученное ур. z*z´y=f(y,z) в котором играет роль независ. перемен. у. Решив его, найдём z= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru Подставим Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru равнение с разделяющимися переменными

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru - общее решение диф. ур.

Определение.

Ур.вида у´´+ру´+qy=0, p,q- наз. линейн. однород. диф. ур. с постоянными коэффициентами. Будем иск.решение ур. у´´+ру´+qy=0 в соот. с методом Эйлера у= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

y´= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

y´´= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

yи y´, y´´ подст. в ур. у´´+ру´+qy=0

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru –характеристическое ур.

1,Пусть корни Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

у1= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

у2= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Т.к. определитель Вронского Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru = Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Решение - Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

2) Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

у1= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru – частное решение уравнения у´´+ру´+qy=0

Покажем, что в этом случае у2=х Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru также явл. решением ур. у´´+ру´+qy=0

Т.к. у2= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ruЗадачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

у2= Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Общее решение ур. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале). - student2.ru

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).

ДУ – ур-ния содержащие неизвестные функции или вектор функции под знаком производной или дифференциала.

1. dx/dt = -kx - уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x- кол-во неразложившегося вещ-ва в момент времени t, dx/dt – скорость распада,которая пропорциональна кол-ву распада.

2. m*(d2r/dt2) = F(t,r,dr/dt) - ур-ние движения точки, массы m под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки радиус вектора и ее скорости.

3. ð2u/ ðx2 + ð2u/ ðy2+ ð2u/ ðz2 = 4πρ(x,y,z) - ур-ние Пуассона, которому удовлетворяет потенциал и (x,y,z) электростатического поля, ρ-плотность зарядов.

ДУ – ур-ние относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком ДУ называется порядок старшей производной входящей в это уровнение.

ДУ называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной переменной. (пример 1,2)Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называются ур-ниями с частными производными (пример 3).

Обыкновенные ДУ(ОДУ) n-ого порядка наз. ур-ния вида:F(x,y,y`,y``,…yn)=0, (1)

Где, x-независимая переменная, y=y(x) –зависимая от x-искомая ф-ия переменной x, y`,y``,…yn -производная, F( ) –заданная ф-ия своих аргументом,может не содержать несколько своих элементов,но должна зависить от yn.

Если ур-ние (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то можно представить: yn = f(x, y,y`,y``,…yn-1). (2)

Ф-ия y=φ(x) определенная и непрерывная дифференцируемая n раз на (a,b) назыв. Решением ур-ния (1) в этом интервале если она обращает указанное ур-ние в тождество: F(x, φ(x), φ`(x),… φn(x)) =0, для всех х принадлеж. интервалу (a,b).

Наши рекомендации